Uma barra circular infinitamente longa, de raio R, contém uma densidade de carga uniforme rho. Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico para r>R e r.

Passo 1

Então, a gente tem uma barra circular que é infinitamente longa, com raio $ R $, e ela tem uma densidade de carga uniforme $ \rho R ãéé r > R rho r < R $).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total passando por uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ($ \varepsilon_0 $). Matemáticamente, fica assim:
varepsilon0

Passo 3

Vamos escolher uma superfície gaussiana que simplifique os cálculos. Aqui, a simetria do problema sugere usar um cilindro coaxial com a barra, com raio $ r $ e comprimento $ L $. Assim, o campo elétrico $ \vec{E} $ vai ser radial e depender só do $ r $ devido à simetria do sistema.

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Como $ \vec{E} $ é perpendicular e constante na superfície lateral do cilindro, o fluxo fica:
E
Aqui, $ 2\pi r L $ é a área lateral do cilindro.

Passo 5

Precisamos também calcular a carga interna ($ Q_{int} $) dentro da superfície gaussiana.
  • Para $ r > R $:
    A carga interna é toda a carga da barra dentro do raio $ R $, pois o cilindro gaussiano engloba toda a barra. Então:
    Qint
  • Para $ r < R $:
    Aqui, o cilindro gaussiano está dentro da barra, então a carga interna é proporcional ao volume dentro do raio $ r $:
    r > R

Passo 6

Vamos aplicar a Lei de Gauss para cada caso.
  • Para $ r > R $:
    r > R
    Simplificando:
    E cdot (2pi r L) = rho pi R^2 Lvarepsilon0
  • Para $ r < R $:
    E = rho R^22 varepsilon0 r
    Simplificando:
    r < R

Resposta

Para $ r > R $:
r > R
Para $ r < R $:
E = rho R^22 varepsilon0 r

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