Uma barra circular infinitamente longa, de raio
, contém uma densidade de carga uniforme
. Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico para
e
.
Passo 1
Então, a gente tem uma barra circular que é infinitamente longa, com raio $ R $, e ela tem uma densidade de carga uniforme $ \rho
r > R
r < R $).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total passando por uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ($ \varepsilon_0 $). Matemáticamente, fica assim:
Passo 3
Vamos escolher uma superfície gaussiana que simplifique os cálculos. Aqui, a simetria do problema sugere usar um cilindro coaxial com a barra, com raio $ r $ e comprimento $ L $. Assim, o campo elétrico $ \vec{E} $ vai ser radial e depender só do $ r $ devido à simetria do sistema.
Passo 4
Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Como $ \vec{E} $ é perpendicular e constante na superfície lateral do cilindro, o fluxo fica:
Aqui, $ 2\pi r L $ é a área lateral do cilindro.
Passo 5
Precisamos também calcular a carga interna ($ Q_{int} $) dentro da superfície gaussiana.
-
Para $ r > R $:
A carga interna é toda a carga da barra dentro do raio $ R $, pois o cilindro gaussiano engloba toda a barra. Então: -
Para $ r < R $:
Aqui, o cilindro gaussiano está dentro da barra, então a carga interna é proporcional ao volume dentro do raio $ r $:
Passo 6
Vamos aplicar a Lei de Gauss para cada caso.
-
Para $ r > R $:Simplificando:
-
Para $ r < R $:Simplificando:
Resposta
Para $ r > R $:
Para $ r < R $: