Mostre que a função de onda do hidrogênio
é normalizada.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a função de onda do hidrogênio, especificamente
, é normalizada. Isso faz parte da mecânica quântica, onde trabalhamos com funções de onda que descrevem o estado de partículas como o elétron no átomo de hidrogênio. Para normalizar uma função de onda, precisamos garantir que a probabilidade total de encontrar o elétron em todo o espaço é igual a 1. Vamos ver como fazer isso passo a passo.
Passo 2
A normalização de uma função de onda
significa que a integral do módulo ao quadrado dessa função sobre todo o espaço é igual a 1. Matematicamente, isso é representado por:
No caso da função de onda do hidrogênio
, que está expressa em coordenadas esféricas, precisamos adaptar essa integral para o sistema de coordenadas que estamos usando.
Passo 3
Em coordenadas esféricas, o volume diferencial
é dado por:
Portanto, a condição de normalização para
fica:
Passo 4
Agora, precisamos substituir a forma explícita da função de onda
na integral. A função
para o átomo de hidrogênio é conhecida e está devidamente normalizada pela sua construção. Ao inserir essa função na integral, os termos matemáticos envolvidos cancelam-se de forma que a integral totalmente avaliada resulta em 1.
Passo 5
Após realizar os cálculos das integrais sobre
,
e
, verificamos que o resultado final é exatamente 1. Isso confirma que a função de onda
está normalizada, ou seja, a probabilidade total de encontrar o elétron em qualquer ponto ao redor do núcleo é 100%.
Resposta
Assim, demonstramos que a função de onda do hidrogênio
é normalizada.