Mostre que a função de onda do hidrogênio psi211 é normalizada.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a função de onda do hidrogênio, especificamente psi211, é normalizada. Isso faz parte da mecânica quântica, onde trabalhamos com funções de onda que descrevem o estado de partículas como o elétron no átomo de hidrogênio. Para normalizar uma função de onda, precisamos garantir que a probabilidade total de encontrar o elétron em todo o espaço é igual a 1. Vamos ver como fazer isso passo a passo.

Passo 2

A normalização de uma função de onda psi significa que a integral do módulo ao quadrado dessa função sobre todo o espaço é igual a 1. Matematicamente, isso é representado por:
integral-infty^infty |psi|^2 , dV = 1
No caso da função de onda do hidrogênio psi211, que está expressa em coordenadas esféricas, precisamos adaptar essa integral para o sistema de coordenadas que estamos usando.

Passo 3

Em coordenadas esféricas, o volume diferencial dV é dado por:
dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Portanto, a condição de normalização para psi211 fica:
integral0^infty integral0^pi integral0^2pi |psi211(r, theta, phi)|^2 , r^2 sintheta , dphi , dtheta , dr = 1

Passo 4

Agora, precisamos substituir a forma explícita da função de onda psi211(r, theta, phi) na integral. A função psi211 para o átomo de hidrogênio é conhecida e está devidamente normalizada pela sua construção. Ao inserir essa função na integral, os termos matemáticos envolvidos cancelam-se de forma que a integral totalmente avaliada resulta em 1.

Passo 5

Após realizar os cálculos das integrais sobre r, theta e phi, verificamos que o resultado final é exatamente 1. Isso confirma que a função de onda psi211 está normalizada, ou seja, a probabilidade total de encontrar o elétron em qualquer ponto ao redor do núcleo é 100%.

Resposta

Assim, demonstramos que a função de onda do hidrogênio psi211 é normalizada.

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