Obtenha o campo elétrico de um dipolo puntual através do cálculo do gradiente de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o campo elétrico de um dipolo puntual usando o gradiente da função potencial que é dada por:
Aqui, estamos lidando com conceitos de Eletrostática, especificamente com dipolos elétricos e o uso do gradiente para encontrar campos a partir de potenciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como calcular o gradiente em coordenadas cartesianas e entender como aplicar isso à expressão dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o campo elétrico. O campo elétrico
pode ser obtido a partir do potencial elétrico
usando a relação:
Aqui,
representa o gradiente do potencial elétrico. Nosso objetivo é, então, calcular esse gradiente aplicado à função
que nos foi dada.
Passo 3
Vamos analisar a expressão do potencial:
-
é o momento de dipolo. -
é o vetor posição. -
é a magnitude de . -
é a permissividade do vácuo.
O produto escalar
dá uma medida de quão alinhado está o dipolo com a posição considerada.
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente de
. Em coordenadas cartesianas, o gradiente de uma função escalar
é dado por:
Então, precisamos derivar
em relação a
,
e
.
Passo 5
Antes de derivar, vamos simplificar a expressão de
. Sabemos que:
E:
Então, podemos reescrever
como:
Passo 6
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Simplificando:
Fazendo algo similar para
e
, teremos:
Passo 7
Agora que temos o gradiente, lembramos que o campo elétrico é o negativo desse gradiente:
Então, substituindo:
Isso pode ser reorganizado para a forma mais comum do campo de dipolo:
Resposta
O campo elétrico de um dipolo puntual é dado por: