Obtenha o campo elétrico de um dipolo puntual através do cálculo do gradiente de
varphi=14 pi epsilon0 p cdot rr^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o campo elétrico de um dipolo puntual usando o gradiente da função potencial que é dada por:
varphi = 14 pi epsilon0 p cdot rr^3
Aqui, estamos lidando com conceitos de Eletrostática, especificamente com dipolos elétricos e o uso do gradiente para encontrar campos a partir de potenciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como calcular o gradiente em coordenadas cartesianas e entender como aplicar isso à expressão dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o campo elétrico. O campo elétrico E pode ser obtido a partir do potencial elétrico varphi usando a relação:
E = -nabla varphi
Aqui, nabla varphi representa o gradiente do potencial elétrico. Nosso objetivo é, então, calcular esse gradiente aplicado à função varphi que nos foi dada.

Passo 3

Vamos analisar a expressão do potencial:
varphi = 14 pi epsilon0 p cdot rr^3
  • p é o momento de dipolo.
  • r é o vetor posição.
  • r = |r| é a magnitude de r.
  • epsilon0 é a permissividade do vácuo.
O produto escalar p cdot r dá uma medida de quão alinhado está o dipolo com a posição considerada.

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente de varphi. Em coordenadas cartesianas, o gradiente de uma função escalar varphi(x,y,z) é dado por:
nabla varphi = ( partial varphipartial x, partial varphipartial y, partial varphipartial z )
Então, precisamos derivar varphi em relação a x, y e z.

Passo 5

Antes de derivar, vamos simplificar a expressão de varphi. Sabemos que:
p cdot r = px x + py y + pz z
E:
r = raizx^2 + y^2 + z^2
Então, podemos reescrever varphi como:
varphi = 14 pi epsilon0 px x + py y + pz z(x^2 + y^2 + z^2)^3/2

Passo 6

Vamos calcular a derivada parcial de varphi em relação a x:
partial varphipartial x = 14 pi epsilon0 px (x^2 + y^2 + z^2)^3/2 - (px x + py y + pz z) cdot 32 (x^2 + y^2 + z^2)^1/2 cdot 2x(x^2 + y^2 + z^2)^3
Simplificando:
partial varphipartial x = 14 pi epsilon0 px r^3 - 3x(px x + py y + pz z)r^5
Fazendo algo similar para y e z, teremos:
nabla varphi = 14 pi epsilon0 ( px r^2 - 3x (p cdot r)r^5, py r^2 - 3y (p cdot r)r^5, pz r^2 - 3z (p cdot r)r^5 )

Passo 7

Agora que temos o gradiente, lembramos que o campo elétrico é o negativo desse gradiente:
E = -nabla varphi
Então, substituindo:
E = 14 pi epsilon0 ( 3 p (p cdot r)r^5 - pr^3 )
Isso pode ser reorganizado para a forma mais comum do campo de dipolo:
E = 14 pi epsilon0 ( 3 (p cdot r) rr^5 - pr^3 )

Resposta

O campo elétrico de um dipolo puntual é dado por:
E = 14 pi epsilon0 ( 3 (p cdot r) rr^5 - pr^3 )

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