Uma barra de cobre com diâmetro de
deve ser reduzida para uma barra com diâmetro de 50,8 mm ao ser empurrada através de uma abertura. Para considerar a deformação elástica, qual deve ser o diâmetro da abertura? O módulo de elasticidade do cobre é de 117,2 MPa e o limite de escoamento é de 275,8 MPa.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra de cobre com diâmetro inicial de 76,2 mm que precisa ser reduzida para 50,8 mm ao passar por uma abertura. Queremos calcular o diâmetro dessa abertura de forma que a deformação da barra seja elástica, ou seja, que a barra não sofra deformação permanente. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de elasticidade dos materiais, especificamente o módulo de elasticidade e o limite de escoamento do cobre.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a deformação elástica ocorre quando a tensão aplicada é menor que o limite de escoamento do material. Então, nosso objetivo é garantir que a tensão na barra de cobre ao ser empurrada pela abertura não ultrapasse 275,8 MPa.
Passo 3
Vamos calcular a força máxima que a barra pode suportar antes de atingir o limite de escoamento. Para isso, usamos a fórmula da tensão:
Onde:
-
é a tensão (275,8 MPa) -
é a força -
é a área da seção transversal
Rearranjando para encontrar
:
Passo 4
Calculamos a área da seção transversal inicial da barra de cobre com diâmetro de 76,2 mm:
Passo 5
Usando a força máxima e a área inicial, temos:
No entanto, precisamos ajustar as unidades corretamente. A tensão está em MPa, que é equivalente a N/mm², então a força será:
Passo 6
Agora, queremos que essa força ao passar pela nova abertura com diâmetro
não exceda o limite de escoamento. Então, a área da nova seção transversal será:
E a tensão na nova seção deve ser igual ou menor que 275,8 MPa:
Passo 7
Substituindo
e rearranjando para encontrar
:
Resposta
O diâmetro da abertura deve ser de aproximadamente 76,2 mm para considerar apenas a deformação elástica da barra de cobre.