Uma barra de cobre com diâmetro de 76,2 mm deve ser reduzida para uma barra com diâmetro de 50,8 mm ao ser empurrada através de uma abertura. Para considerar a deformação elástica, qual deve ser o diâmetro da abertura? O módulo de elasticidade do cobre é de 117,2 MPa e o limite de escoamento é de 275,8 MPa.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra de cobre com diâmetro inicial de 76,2 mm que precisa ser reduzida para 50,8 mm ao passar por uma abertura. Queremos calcular o diâmetro dessa abertura de forma que a deformação da barra seja elástica, ou seja, que a barra não sofra deformação permanente. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de elasticidade dos materiais, especificamente o módulo de elasticidade e o limite de escoamento do cobre.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a deformação elástica ocorre quando a tensão aplicada é menor que o limite de escoamento do material. Então, nosso objetivo é garantir que a tensão na barra de cobre ao ser empurrada pela abertura não ultrapasse 275,8 MPa.

Passo 3

Vamos calcular a força máxima que a barra pode suportar antes de atingir o limite de escoamento. Para isso, usamos a fórmula da tensão:
sigma = FA
Onde:
  • F = sigma times A é a tensão (275,8 MPa)
  • é a força
  • é a área da seção transversal
Rearranjando para encontrar :

Passo 4

Calculamos a área da seção transversal inicial da barra de cobre com diâmetro de 76,2 mm:
Ainicial = pi (dinicial2)^2 = pi (76,22)^2 approx 4559,5 , mm^2

Passo 5

Usando a força máxima e a área inicial, temos:
F = 275,8 times 4559,5 approx 1.257.539 , N/mm^2
No entanto, precisamos ajustar as unidades corretamente. A tensão está em MPa, que é equivalente a N/mm², então a força será:
F = 275,8 , MPa times 4559,5 , mm^2 approx 1,257 times 10^6 , N

Passo 6

Agora, queremos que essa força ao passar pela nova abertura com diâmetro Aabertura = pi (dabertura2)^2 não exceda o limite de escoamento. Então, a área da nova seção transversal será:
sigma = FAabertura <= 275,8 , MPa
E a tensão na nova seção deve ser igual ou menor que 275,8 MPa:

Passo 7

Substituindo Aabertura = Fsigma = 1,257 times 10^6275,8 approx 4560 , mm^2 e rearranjando para encontrar pi (dabertura2)^2 = 4560 :
(dabertura2)^2 = 4560pi approx 1452,5
dabertura2 approx raiz1452,5 approx 38,11 , mm
dabertura approx 2 times 38,11 approx 76,22 , mm

Resposta

O diâmetro da abertura deve ser de aproximadamente 76,2 mm para considerar apenas a deformação elástica da barra de cobre.

Exercícios relacionados