Uma barra comprida cilíndrica, com 40 mm de diâmetro, fabricada em safira (óxido de alumínio) e inicialmente a uma temperatura uniforme de 800 K, é resfriada subitamente por um fluido a 300 K, que mantém um coeficiente de transferência de calor de
. Após 35 s, ela é enrolada com uma manta isolante, de tal modo que não mais perde calor. Qual será a temperatura da barra após um longo período de tempo? Propriedades:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma barra cilíndrica de safira (óxido de alumínio) que está inicialmente a 800 K. Essa barra tem um diâmetro de 40 mm e está sendo resfriada por um fluido que está a 300 K, com um coeficiente de transferência de calor de
. Depois de 35 segundos, a barra é isolada, ou seja, não perde mais calor. A questão quer saber qual será a temperatura da barra após muito tempo. Vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, especialmente sobre resfriamento por convecção e como o isolamento afeta a temperatura final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece durante os primeiros 35 segundos. A barra está loseando calor para o fluido por convecção. A equação básica para esse processo é a Lei de Resfriamento de Newton:
Onde:
- $ h $ é o coeficiente de transferência de calor,
- $ A $ é a área de superfície da barra,
- $ m $ é a massa da barra,
- $ C_p $ é a capacidade térmica específica,
- $ T $ é a temperatura da barra,
- $ T_{\infty} $ é a temperatura do fluido.
Passo 3
Vamos calcular a massa da barra. A massa $ m $ é dada por:
Onde $ V $ é o volume da barra. Como não foi dado o comprimento, vamos assumir que o comprimento não afeta o resultado final após muito tempo, já que estamos interessados na temperatura uniforme.
Passo 4
Agora, considerando a fórmula da solução da equação diferencial da Lei de Resfriamento de Newton, temos que a temperatura da barra após tempo $ t $ é:
Onde $ T_0 $ é a temperatura inicial (800 K).
Passo 5
Depois de 35 segundos, a barra é isolada. Isso significa que não há mais transferência de calor com o ambiente. Portanto, a temperatura da barra após o isolamento não vai mais mudar, pois não há perda ou ganho de calor.
Resposta
Após um longo período de tempo, a temperatura da barra estabiliza em
.