Uma barra comprida cilíndrica, com 40 mm de diâmetro, fabricada em safira (óxido de alumínio) e inicialmente a uma temperatura uniforme de 800 K, é resfriada subitamente por um fluido a 300 K, que mantém um coeficiente de transferência de calor de 1600 W /(m^2 cdot K). Após 35 s, ela é enrolada com uma manta isolante, de tal modo que não mais perde calor. Qual será a temperatura da barra após um longo período de tempo? Propriedades: rho=3970 kg / m^3, Cp=10,68 J / Kg cdot K, k=22,3 W / m K e alpha=5,259.10^-6 m^2 / s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma barra cilíndrica de safira (óxido de alumínio) que está inicialmente a 800 K. Essa barra tem um diâmetro de 40 mm e está sendo resfriada por um fluido que está a 300 K, com um coeficiente de transferência de calor de 1600 , W/(m^2 cdot K). Depois de 35 segundos, a barra é isolada, ou seja, não perde mais calor. A questão quer saber qual será a temperatura da barra após muito tempo. Vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, especialmente sobre resfriamento por convecção e como o isolamento afeta a temperatura final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece durante os primeiros 35 segundos. A barra está loseando calor para o fluido por convecção. A equação básica para esse processo é a Lei de Resfriamento de Newton:
dTdt = -h cdot Am cdot Cp (T - Tinfty)
Onde:
  • $ h $ é o coeficiente de transferência de calor,
  • $ A $ é a área de superfície da barra,
  • $ m $ é a massa da barra,
  • $ C_p $ é a capacidade térmica específica,
  • $ T $ é a temperatura da barra,
  • $ T_{\infty} $ é a temperatura do fluido.

Passo 3

Vamos calcular a massa da barra. A massa $ m $ é dada por:
m
Onde $ V $ é o volume da barra. Como não foi dado o comprimento, vamos assumir que o comprimento não afeta o resultado final após muito tempo, já que estamos interessados na temperatura uniforme.

Passo 4

Agora, considerando a fórmula da solução da equação diferencial da Lei de Resfriamento de Newton, temos que a temperatura da barra após tempo $ t $ é:
t
Onde $ T_0 $ é a temperatura inicial (800 K).

Passo 5

Depois de 35 segundos, a barra é isolada. Isso significa que não há mais transferência de calor com o ambiente. Portanto, a temperatura da barra após o isolamento não vai mais mudar, pois não há perda ou ganho de calor.

Resposta

Após um longo período de tempo, a temperatura da barra estabiliza em 300 , K.

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