Uma barra de comprimento possui carga uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento. A Barra apóia-se no eixo com seu centro na origem. (a) Determine o potencial elétrico em função da posição ao longo do eixo . (b) Mostre que o resultado obtido no item (a) reduz-se a para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletricidade! A gente tem uma barra de comprimento com carga total distribuída uniformemente. A barra está apoiada no eixo , com o centro na origem. Precisamos encontrar o potencial elétrico ao longo do eixo (parte a) e mostrar que, para muito maior que , o potencial se aproxima de (parte b).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é potencial elétrico. O potencial elétrico em um ponto no espaço devido a uma carga é uma medida de quanta energia uma carga de teste teria nesse ponto. Para distribuições contínuas de carga, como nossa barra, integramos a contribuição de cada pedacinho da carga.
Passo 3
Vamos considerar um pequeno elemento de comprimento na barra. Como a carga está uniformemente distribuída, a densidade linear de carga é:
A carga nesse elemento será:
Passo 4
O potencial elétrico devido a esse elemento na posição do eixo é dado por:
Onde é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde queremos calcular o potencial. Como a barra está no eixo , e o ponto está no eixo , aplicando o Teorema de Pitágoras:
Passo 5
Substituindo na expressão do potencial:
Para achar o potencial total , integramos de a :
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Essa é uma integral padrão que resulta em:
Aplicando os limites:
Simplificando usando propriedades dos logaritmos:
V = k QL ln(L2 + raizx^2 + (L2)^2-L2 + raizx^2 + (L2)^2)
Passo 7
Simplificando ainda mais a expressão:
V = k QL ln(raizx^2 + (L2)^2 + L2raizx^2 + (L2)^2 - L2)
Essa é a expressão geral para o potencial elétrico ao longo do eixo .
Passo 8
Agora, para a parte (b), queremos mostrar que quando V = k Qx , o potencial se aproxima de:
V approx k Qx
Quando é muito maior que , se torna insignificante comparado a . Então, a expressão do potencial simplifica para:
Isso ocorre porque a barra se comporta como uma carga pontual nesse limite.
Resposta
(a) O potencial elétrico ao longo do eixo V(x) = k QL ln(raizx^2 + (L2)^2 + L2raizx^2 + (L2)^2 - L2) é: