Uma barra de comprimento L possui carga Q uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento. A Barra apóia-se no eixo y com seu centro na origem. (a) Determine o potencial elétrico em função da posição ao longo do eixo x. (b) Mostre que o resultado obtido no item (a) reduz-se a V=k Q / x para x gg L.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletricidade! A gente tem uma barra de comprimento com carga total distribuída uniformemente. A barra está apoiada no eixo , com o centro na origem. Precisamos encontrar o potencial elétrico ao longo do eixo (parte a) e mostrar que, para muito maior que , o potencial se aproxima de (parte b).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é potencial elétrico. O potencial elétrico em um ponto no espaço devido a uma carga é uma medida de quanta energia uma carga de teste teria nesse ponto. Para distribuições contínuas de carga, como nossa barra, integramos a contribuição de cada pedacinho da carga.

Passo 3

Vamos considerar um pequeno elemento de comprimento lambda = QL na barra. Como a carga está uniformemente distribuída, a densidade linear de carga dq = lambda , dy = QL , dy é:
A carga nesse elemento será:

Passo 4

O potencial elétrico devido a esse elemento dV = k , dqr na posição r = raizx^2 + y^2 do eixo é dado por:
Onde é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde queremos calcular o potencial. Como a barra está no eixo , e o ponto está no eixo , aplicando o Teorema de Pitágoras:

Passo 5

Substituindo dV = k , QL , dyraizx^2 + y^2 na expressão do potencial:
V = integral-L2^L2 k , QLraizx^2 + y^2 , dy
Para achar o potencial total , integramos de a :

Passo 6

Vamos resolver a integral:
V = k QL integral-L2^L2 1raizx^2 + y^2 , dy
Essa é uma integral padrão que resulta em:
integral 1raizx^2 + y^2 , dy = ln(y + raizx^2 + y^2) + C
Aplicando os limites:
V = k QL [ ln(L2 + raizx^2 + (L2)^2) - ln(-L2 + raizx^2 + (L2)^2) ]
Simplificando usando propriedades dos logaritmos:
V = k QL ln(L2 + raizx^2 + (L2)^2-L2 + raizx^2 + (L2)^2)

Passo 7

Simplificando ainda mais a expressão:
V = k QL ln(raizx^2 + (L2)^2 + L2raizx^2 + (L2)^2 - L2)
Essa é a expressão geral para o potencial elétrico ao longo do eixo .

Passo 8

Agora, para a parte (b), queremos mostrar que quando V = k Qx , o potencial se aproxima de:
V approx k Qx
Quando é muito maior que , se torna insignificante comparado a . Então, a expressão do potencial simplifica para:
Isso ocorre porque a barra se comporta como uma carga pontual nesse limite.

Resposta

(a) O potencial elétrico ao longo do eixo V(x) = k QL ln(raizx^2 + (L2)^2 + L2raizx^2 + (L2)^2 - L2) é:
V approx k Qx
(b) Para , o potencial se aproxima de:

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