Um capacitor é formado por duas cascas condutoras esféricas no vácuo. A esfera interior tem raio
e a exterior tem raio
. Aplica-se uma diferença de potencial de
no capacitor. Qual a densidade de energia uu em
?
Use
.
Resposta
Use
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um capacitor esférico formado por duas cascas condutoras no vácuo. A esfera de dentro tem raio
e a de fora tem raio
. Foi aplicada uma diferença de potencial de
nesse capacitor. Queremos descobrir qual é a densidade de energia
no ponto onde
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campos elétricos e densidade de energia elétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a densidade de energia elétrica
. Ela é dada por:
Onde:
-
é a permissividade do vácuo ( ) -
é o campo elétrico no ponto onde queremos calcular a densidade de energia.
Passo 3
Agora, vamos precisar encontrar o valor do campo elétrico
no ponto
. Para um capacitor esférico, o campo elétrico entre as duas cascas é calculado por:
Onde:
-
é a carga na esfera interna. -
é a distância do centro até o ponto onde estamos calculando o campo, no caso, .
Passo 4
Para encontrar
, precisamos primeiro calcular a capacitância
desse capacitor esférico. A fórmula da capacitância de um capacitor esférico é:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
Passo 6
Com a capacitância calculada, podemos descobrir a carga
usando a relação:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 7
Agora, voltando à fórmula do campo elétrico:
Substituindo os valores:
Passo 8
Com o valor do campo elétrico, podemos finalmente calcular a densidade de energia
:
Resposta
A densidade de energia
em
é aproximadamente:
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para
.
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