Um capacitor é formado por duas cascas condutoras esféricas no vácuo. A esfera interior tem raio a=0.09 m e a exterior tem raio b=0.18 m. Aplica-se uma diferença de potencial de V=75 V no capacitor. Qual a densidade de energia uu em r=0.135 m ?
Use epsilon 0=9 times 10-12 C 2 /(N m 2) epsilon 0=9 times 10-12 C 2 /(N m 2).
u=u= Resposta
times 10-6 J / m 3

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um capacitor esférico formado por duas cascas condutoras no vácuo. A esfera de dentro tem raio e a de fora tem raio . Foi aplicada uma diferença de potencial de nesse capacitor. Queremos descobrir qual é a densidade de energia no ponto onde . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campos elétricos e densidade de energia elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a densidade de energia elétrica u = 12 epsilon0 E^2 . Ela é dada por:
Onde:
  • é a permissividade do vácuo ( )
  • é o campo elétrico no ponto onde queremos calcular a densidade de energia.

Passo 3

Agora, vamos precisar encontrar o valor do campo elétrico E(r) = 14pi epsilon0 cdot Qr^2 no ponto . Para um capacitor esférico, o campo elétrico entre as duas cascas é calculado por:
Onde:
  • é a carga na esfera interna.
  • é a distância do centro até o ponto onde estamos calculando o campo, no caso, .

Passo 4

Para encontrar C = 4pi epsilon0 cdot a cdot bb - a , precisamos primeiro calcular a capacitância C = 4pi times 9 times 10^-12 cdot 0,09 times 0,180,18 - 0,09 desse capacitor esférico. A fórmula da capacitância de um capacitor esférico é:
Substituindo os valores de e :

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
C = 4pi times 9 times 10^-12 cdot 0,01620,09
C = 4pi times 9 times 10^-12 cdot 0,18
C = 4pi times 1,62 times 10^-12
C approx 2,04 times 10^-11 , F

Passo 6

Com a capacitância calculada, podemos descobrir a carga Q = C cdot V usando a relação:
Q = 2,04 times 10^-11 times 75
Substituindo os valores de Q approx 1,53 times 10^-9 , C e :

Passo 7

Agora, voltando à fórmula do campo elétrico:
E(r) = 14pi epsilon0 cdot Qr^2
Substituindo os valores:
E(0,135) = 14pi times 9 times 10^-12 cdot 1,53 times 10^-9(0,135)^2
E(0,135) approx 11,131 times 10^-10 cdot 1,53 times 10^-90,018225
E(0,135) approx 8,85 times 10^9 times 8,41 times 10^-8
E(0,135) approx 744 , V/m

Passo 8

Com o valor do campo elétrico, podemos finalmente calcular a densidade de energia u = 12 times 9 times 10^-12 times (744)^2 :
u = 0,5 times 9 times 10^-12 times 553.536
u approx 2,49 times 10^-6 , J/m^3

Resposta

A densidade de energia u approx 2,49 times 10^-6 , J/m^3 em é aproximadamente:

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