Uma barra fina de de comprimento e uma massa de está suspensa por uma das extremidades. Ela é puxada para o lado e liberada para oscilar como um pêndulo, passando pela posição mais baixa com uma velocidade angular de . Desprezando o atrito e a resistência do ar, determine (a) a energia cinética da barra na posição mais baixa e (b) a altura acima dessa posição que o centro de massa alcança.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma barra fina de comprimento e massa que está pendurada e oscila como um pêndulo. Quando ela passa pela posição mais baixa, sua velocidade angular é . Precisamos encontrar duas coisas:
a) A energia cinética da barra na posição mais baixa.
b) A altura que o centro de massa da barra alcança acima dessa posição.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia rotacional e conservação de energia. Vamos precisar entender como calcular o momento de inércia de uma barra e como relacionar a energia cinética com a energia potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia cinética na posição mais baixa. A energia cinética rotacional é dada por:
Onde:
  • é o momento de inércia da barra.
  • é a velocidade angular.
Para uma barra fina rotacionando em torno de uma de suas extremidades, o momento de inércia é:
Onde:
  • é a massa da barra.
  • é o comprimento da barra.
Vamos calcular com os valores fornecidos.

Passo 3

Calculando :

Passo 4

Agora que temos , vamos calcular a energia cinética :

Passo 5

Para a parte (b), precisamos encontrar a altura que o centro de massa alcança acima da posição mais baixa. Como não há atrito nem resistência do ar, a energia cinética na posição mais baixa será igual à energia potencial máxima no ponto mais alto.
A energia potencial é dada por:
Igualando as energias:
Vamos resolver para .

Passo 6

Resolvendo para :

Resposta

(a) A energia cinética da barra na posição mais baixa é .
(b) A altura que o centro de massa alcança acima da posição mais baixa é aproximadamente .

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