Uma barra fina de
de comprimento e uma massa de
está suspensa por uma das extremidades. Ela é puxada para o lado e liberada para oscilar como um pêndulo, passando pela posição mais baixa com uma velocidade angular de
. Desprezando o atrito e a resistência do ar, determine (a) a energia cinética da barra na posição mais baixa e (b) a altura acima dessa posição que o centro de massa alcança.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma barra fina de comprimento
e massa
que está pendurada e oscila como um pêndulo. Quando ela passa pela posição mais baixa, sua velocidade angular é
. Precisamos encontrar duas coisas:
a) A energia cinética da barra na posição mais baixa.
b) A altura que o centro de massa da barra alcança acima dessa posição.
a) A energia cinética da barra na posição mais baixa.
b) A altura que o centro de massa da barra alcança acima dessa posição.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia rotacional e conservação de energia. Vamos precisar entender como calcular o momento de inércia de uma barra e como relacionar a energia cinética com a energia potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia cinética na posição mais baixa. A energia cinética rotacional é dada por:
Onde:
-
é o momento de inércia da barra. -
é a velocidade angular.
Para uma barra fina rotacionando em torno de uma de suas extremidades, o momento de inércia é:
Onde:
-
é a massa da barra. -
é o comprimento da barra.
Vamos calcular
com os valores fornecidos.
Passo 3
Calculando
:
Passo 4
Agora que temos
, vamos calcular a energia cinética
:
Passo 5
Para a parte (b), precisamos encontrar a altura que o centro de massa alcança acima da posição mais baixa. Como não há atrito nem resistência do ar, a energia cinética na posição mais baixa será igual à energia potencial máxima no ponto mais alto.
A energia potencial é dada por:
Igualando as energias:
Vamos resolver para
.
Passo 6
Resolvendo para
:
Resposta
(a) A energia cinética da barra na posição mais baixa é
.
(b) A altura que o centro de massa alcança acima da posição mais baixa é aproximadamente
.