• Uma fonte puntiforme de luz está localizada a 5,0 m abaixo da superfície de uma grande piscina de água. Determine a área do maior círculo na superfície da piscina através do qual a luz vinda diretamente da fonte pode emergir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma fonte de luz pontual situada a 5,0 metros abaixo da superfície de uma piscina grande. A gente precisa descobrir qual é a área do maior círculo na superfície da piscina pelo qual a luz dessa fonte pode emergir diretamente. Para isso, vamos usar conceitos de refração da luz e ângulo crítico. A gente vai precisar entender como a luz se comporta ao passar da água para o ar e aplicar algumas fórmulas de geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a luz passa de um meio para outro com um índice de refração diferente, ela sofre desvio; isso é o que chamamos de refração. Aqui, a luz está saindo da água (índice de refração nágua cdot sin(thetac) = nar cdot sin(90^circ) á) para o ar (índice de refração sin(thetac) = narnágua ). Para determinar o maior ângulo com que a luz pode sair da água antes de sofrer reflexão total interna, precisamos encontrar o ângulo crítico ( ). O ângulo crítico ocorre quando o ângulo de refração é de 90 graus.
A fórmula de Snell para o ângulo crítico é:
á
Como , podemos simplificar para:
á

Passo 3

Vamos calcular o ângulo crítico usando os valores conhecidos dos índices de refração. Normalmente, o índice de refração da água é aproximadamente sin(thetac) = 1,001,33 approx 0,7519 á e do ar é thetac = arcsin(0,7519) approx 48,75^circ . Substituindo na fórmula:
Agora, para encontrar , aplicamos a função inversa do seno:

Passo 4

Com o ângulo crítico encontrado, podemos determinar o raio ( tan(thetac) = Rh ) do maior círculo na superfície da piscina pelo qual a luz pode emergir. Imaginemos um triângulo retângulo formado pela profundidade da piscina ( R = h cdot tan(thetac) ), o raio R = 5,0 , m cdot tan(48,75^circ) approx 5,0 , m cdot 1,14 approx 5,7 , m que queremos encontrar, e a linha da luz que forma o ângulo crítico .
Usamos a tangente do ângulo crítico:
Isolando :
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora que temos o raio A = pi R^2 do círculo, podemos calcular a área ( A = pi cdot (5,7 , m)^2 approx pi cdot 32,49 , m^2 approx 102,0 , m^2 ) desse maior círculo. A fórmula para a área de um círculo é:
Substituindo o valor de :

Resposta

A área do maior círculo na superfície da piscina pelo qual a luz pode emergir diretamente é aproximadamente 102,0 metros quadrados.

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