73 A esfera A, com uma massa de 80 kg , está situada na origem de um sistema de coordenadas x y; a esfera B, com uma massa de 60 kg , está situada nas coordenadas (0,25 m, 0); a esfera C, com uma massa de 0,20 kg, está situada no primeiro quadrante, a 0,20 m de A e 0,15 m de B. Em termos dos vetores unitários, qual é a força gravitacional total que A e B exercem sobre C ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem três esferas: A, B e C, com massas e posições específicas. Queremos descobrir a força gravitacional total que as esferas A e B exercem sobre a esfera C. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei da Gravitação Universal de Newton e trabalhar com vetores para considerar as direções das forças.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei da Gravitação Universal de Newton. Ela nos diz que a força gravitacional entre duas massas é dada por:
F = G m1 m2r^2
onde:
  • é a constante gravitacional ( ),
  • e são as massas das esferas,
  • é a distância entre os centros das duas massas.

Passo 3

Vamos calcular a força gravitacional que a esfera A exerce sobre a esfera C. Sabemos que FAC = G 80 times 0,200,20^2 = G 160,04 = G times 400 , e a distância entre elas é .
Aplicando a fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular a força gravitacional que a esfera B exerce sobre a esfera C. Temos FBC = G 60 times 0,200,15^2 = G 120,0225 = G times 533,33 , e a distância entre B e C é .
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Agora que temos as magnitudes das forças, precisamos considerar as direções para representar essas forças como vetores. Vamos assumir que as esferas estão no plano .
  • A força atua na direção de C para A, ou seja, no sentido negativo do eixo .
  • A força atua de B para C. Como B está em (0,25 m, 0), e C está no primeiro quadrante, a direção será uma combinação dos eixos e .
Vamos representar cada força em termos dos vetores unitários (no eixo ) e (no eixo ).

Passo 6

Somando as forças vetoriais para obter a força total Ftotal = FAC + FBC que A e B exercem sobre C:
Ftotal = (-400G) i + (533,33G) j
Substituindo os valores calculados e considerando as direções:

Passo 7

Finalmente, substituímos o valor de Ftotal = (-400 times 6,674 times 10^-11) i + (533,33 times 6,674 times 10^-11) j para obter a força numérica:
Ftotal approx (-2,6696 times 10^-8) i + (3,562 times 10^-8) j , N
Calculando:

Resposta

A força gravitacional total que as esferas A e B exercem sobre a esfera C é aproximadamente:
Ftotal = -2,67 times 10^-8 , i + 3,56 times 10^-8 , j , N

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