73 A esfera
, com uma massa de 80 kg , está situada na origem de um sistema de coordenadas
; a esfera
, com uma massa de 60 kg , está situada nas coordenadas
; a esfera
, com uma massa de
, está situada no primeiro quadrante, a 0,20 m de
e
de
. Em termos dos vetores unitários, qual é a força gravitacional total que
e
exercem sobre
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem três esferas: A, B e C, com massas e posições específicas. Queremos descobrir a força gravitacional total que as esferas A e B exercem sobre a esfera C. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei da Gravitação Universal de Newton e trabalhar com vetores para considerar as direções das forças.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei da Gravitação Universal de Newton. Ela nos diz que a força gravitacional entre duas massas é dada por:
onde:
-
é a constante gravitacional ( ), -
e são as massas das esferas, -
é a distância entre os centros das duas massas.
Passo 3
Vamos calcular a força gravitacional que a esfera A exerce sobre a esfera C. Sabemos que
,
e a distância entre elas é
.
Aplicando a fórmula:
Passo 4
Agora, vamos calcular a força gravitacional que a esfera B exerce sobre a esfera C. Temos
,
e a distância entre B e C é
.
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Agora que temos as magnitudes das forças, precisamos considerar as direções para representar essas forças como vetores. Vamos assumir que as esferas estão no plano
.
- A força
atua na direção de C para A, ou seja, no sentido negativo do eixo . - A força
atua de B para C. Como B está em (0,25 m, 0), e C está no primeiro quadrante, a direção será uma combinação dos eixos e .
Vamos representar cada força em termos dos vetores unitários
(no eixo
) e
(no eixo
).
Passo 6
Somando as forças vetoriais para obter a força total
que A e B exercem sobre C:
Substituindo os valores calculados e considerando as direções:
Passo 7
Finalmente, substituímos o valor de
para obter a força numérica:
Calculando:
Resposta
A força gravitacional total que as esferas A e B exercem sobre a esfera C é aproximadamente:
Exercícios relacionados
Você está testando uma nova montanha-russa em um parque de diversões com um carro vazio de massa
. Uma parte da trajetória é uma espiral com raio de
. No ponto inferior da espira (ponto A) o carro tem velocidade escalar de
, e no topo da espira (ponto B) ele tem velocidade de
. Enquanto o carro desliza do ponto A para o ponto B, quanto trabalho é realizado pela força de atrito?
Qual é a constante elástica de uma mola que armazena
de energia potencial ao ser comprimida
?
Uma barra fina de
de comprimento e uma massa de
está suspensa por uma das extremidades. Ela é puxada para o lado e liberada para oscilar como um pêndulo, passando pela posição mais baixa com uma velocidade angular de
. Desprezando o atrito e a resistência do ar, determine (a) a energia cinética da barra na posição mais baixa e (b) a altura acima dessa posição que o centro de massa alcança.