73 A esfera , com uma massa de 80 kg , está situada na origem de um sistema de coordenadas ; a esfera , com uma massa de 60 kg , está situada nas coordenadas ; a esfera , com uma massa de , está situada no primeiro quadrante, a 0,20 m de e de . Em termos dos vetores unitários, qual é a força gravitacional total que e exercem sobre ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem três esferas: A, B e C, com massas e posições específicas. Queremos descobrir a força gravitacional total que as esferas A e B exercem sobre a esfera C. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei da Gravitação Universal de Newton e trabalhar com vetores para considerar as direções das forças.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei da Gravitação Universal de Newton. Ela nos diz que a força gravitacional entre duas massas é dada por:
onde:
  • é a constante gravitacional ( ),
  • e são as massas das esferas,
  • é a distância entre os centros das duas massas.

Passo 3

Vamos calcular a força gravitacional que a esfera A exerce sobre a esfera C. Sabemos que , e a distância entre elas é .
Aplicando a fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular a força gravitacional que a esfera B exerce sobre a esfera C. Temos , e a distância entre B e C é .
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Agora que temos as magnitudes das forças, precisamos considerar as direções para representar essas forças como vetores. Vamos assumir que as esferas estão no plano .
  • A força atua na direção de C para A, ou seja, no sentido negativo do eixo .
  • A força atua de B para C. Como B está em (0,25 m, 0), e C está no primeiro quadrante, a direção será uma combinação dos eixos e .
Vamos representar cada força em termos dos vetores unitários (no eixo ) e (no eixo ).

Passo 6

Somando as forças vetoriais para obter a força total que A e B exercem sobre C:
Substituindo os valores calculados e considerando as direções:

Passo 7

Finalmente, substituímos o valor de para obter a força numérica:
Calculando:

Resposta

A força gravitacional total que as esferas A e B exercem sobre a esfera C é aproximadamente:

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