Uma barra fina (de comprimento total
) uniforme (massa
) oscila em torno de um eixo que passa por uma das extremidades da barra e é perpendicular ao plano de oscilação. A barra oscila com um período de 1,5s e uma amplitude angular de
. (a) Qual é o momento de inércia da barra em relação ao ponto de suspensão?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma barra fina e uniforme de massa 0,50 kg que está oscilando em torno de um ponto fixo. O período dessa oscilação é de 1,5 segundos e a amplitude angular é de 10 graus. O que precisamos descobrir é o momento de inércia dessa barra em relação ao ponto de suspensão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre pêndulos físicos e momentos de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o período
de um pêndulo físico é dado pela fórmula:
onde:
-
é o momento de inércia, -
é a massa da barra, -
é a aceleração da gravidade (aproximadamente ), -
é a distância do ponto de suspensão ao centro de massa da barra.
Passo 3
Como a barra é uniforme e está oscilando em torno de uma de suas extremidades, o centro de massa está no meio da barra. Então,
, onde
é o comprimento total da barra.
Passo 4
Vamos reescrever a fórmula do período substituindo
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, queremos isolar o momento de inércia
. Para isso, vamos rearranjar a equação:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Sabemos que para uma barra fina de comprimento
fixa em uma das extremidades, o momento de inércia é dado por:
Vamos igualar as duas expressões para
:
Passo 7
Podemos simplificar cancelando
e reescrevendo a equação:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Passo 8
Resolvendo para
:
Substituindo
e
:
Calculando:
Passo 9
Agora que temos
, podemos calcular o momento de inércia usando
:
Resposta
O momento de inércia da barra em relação ao ponto de suspensão é aproximadamente
.