Uma barra fina (de comprimento total L ) uniforme (massa =0,50 kg ) oscila em torno de um eixo que passa por uma das extremidades da barra e é perpendicular ao plano de oscilação. A barra oscila com um período de 1,5s e uma amplitude angular de 10^circ. (a) Qual é o momento de inércia da barra em relação ao ponto de suspensão?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma barra fina e uniforme de massa 0,50 kg que está oscilando em torno de um ponto fixo. O período dessa oscilação é de 1,5 segundos e a amplitude angular é de 10 graus. O que precisamos descobrir é o momento de inércia dessa barra em relação ao ponto de suspensão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre pêndulos físicos e momentos de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o período T = 2pi raizIm g d de um pêndulo físico é dado pela fórmula:
onde:
  • é o momento de inércia,
  • é a massa da barra,
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ),
  • é a distância do ponto de suspensão ao centro de massa da barra.

Passo 3

Como a barra é uniforme e está oscilando em torno de uma de suas extremidades, o centro de massa está no meio da barra. Então, , onde é o comprimento total da barra.

Passo 4

Vamos reescrever a fórmula do período substituindo T = 2pi raizIm g L2 :
T = 2pi raiz2Im g L
Simplificando:

Passo 5

Agora, queremos isolar o momento de inércia T2pi = raiz2Im g L . Para isso, vamos rearranjar a equação:
(T2pi)^2 = 2Im g L
Elevando ambos os lados ao quadrado:
I = (T2pi)^2 cdot m g L2
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Sabemos que para uma barra fina de comprimento I = 13 m L^2 fixa em uma das extremidades, o momento de inércia é dado por:
13 m L^2 = (T2pi)^2 cdot m g L2
Vamos igualar as duas expressões para :

Passo 7

Podemos simplificar cancelando 13 L^2 = (T2pi)^2 cdot g L2 e reescrevendo a equação:
13 L = (T2pi)^2 cdot g2
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):

Passo 8

Resolvendo para L = (T2pi)^2 cdot 3g2 :
L = (1,52pi)^2 cdot 3 times 9,812
Substituindo L approx (1,56,2832)^2 cdot 14,715 e L approx (0,2387)^2 cdot 14,715 :
L approx 0,0571 times 14,715
Calculando:
L approx 0,841 , m

Passo 9

Agora que temos I = 13 times 0,50 times (0,841)^2 , podemos calcular o momento de inércia usando I = 13 times 0,50 times 0,707 :
I approx 13 times 0,3535
I approx 0,118 , kg cdot m^2

Resposta

O momento de inércia da barra em relação ao ponto de suspensão é aproximadamente .

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