Uma barra fina (de comprimento total ) uniforme (massa ) oscila em torno de um eixo que passa por uma das extremidades da barra e é perpendicular ao plano de oscilação. A barra oscila com um período de 1,5s e uma amplitude angular de . (a) Qual é o momento de inércia da barra em relação ao ponto de suspensão?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma barra fina e uniforme de massa 0,50 kg que está oscilando em torno de um ponto fixo. O período dessa oscilação é de 1,5 segundos e a amplitude angular é de 10 graus. O que precisamos descobrir é o momento de inércia dessa barra em relação ao ponto de suspensão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre pêndulos físicos e momentos de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o período de um pêndulo físico é dado pela fórmula:
onde:
  • é o momento de inércia,
  • é a massa da barra,
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ),
  • é a distância do ponto de suspensão ao centro de massa da barra.

Passo 3

Como a barra é uniforme e está oscilando em torno de uma de suas extremidades, o centro de massa está no meio da barra. Então, , onde é o comprimento total da barra.

Passo 4

Vamos reescrever a fórmula do período substituindo :
Simplificando:

Passo 5

Agora, queremos isolar o momento de inércia . Para isso, vamos rearranjar a equação:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Sabemos que para uma barra fina de comprimento fixa em uma das extremidades, o momento de inércia é dado por:
Vamos igualar as duas expressões para :

Passo 7

Podemos simplificar cancelando e reescrevendo a equação:
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):

Passo 8

Resolvendo para :
Substituindo e :
Calculando:

Passo 9

Agora que temos , podemos calcular o momento de inércia usando :

Resposta

O momento de inércia da barra em relação ao ponto de suspensão é aproximadamente .

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