Sejam
e
duas soluções da equação de Schroedinger 1-dim, independente do tempo, com energias
e
, respectivamente, sendo E1 diferente de E2. Pode
, sendo
e
constantes não nulas, ser uma solução para a equação? Explique a sua resposta.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício nos pede para verificar se a função
é uma solução da equação de Schrödinger independente do tempo, dado que
e
já são soluções com energias
e
diferentes. Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre superposição de estados na mecânica quântica e como a equação de Schrödinger funciona com combinações lineares de soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a equação de Schrödinger independente do tempo. Ela é dada por:
Aqui,
é o operador Hamiltoniano,
é a função de onda e
é a energia associada a essa função de onda.
Passo 3
Sabemos que
e
são soluções dessa equação com energias diferentes, ou seja:
Como
, cada uma dessas funções de onda está associada a uma energia distinta.
Passo 4
Agora, vamos considerar a combinação linear
. Para verificar se
também é uma solução da equação de Schrödinger, aplicamos o Hamiltoniano nela:
Passo 5
Para
ser uma solução da equação de Schrödinger, deve existir uma energia
tal que:
Expandindo o lado direito:
Passo 6
Agora, igualando os coeficientes das funções
e
dos dois lados da equação, temos:
Como
e
são diferentes de zero, podemos dividir ambos os lados por
e
, respectivamente:
Passo 7
Mas isso é um problema! O exercício nos diz que
, então não pode existir um único
que satisfaça as duas igualdades ao mesmo tempo. Isso significa que a combinação linear
não pode ser uma solução da equação de Schrödinger independente do tempo quando
e
são diferentes.
Resposta
Não, a combinação
não é uma solução da equação de Schrödinger independente do tempo quando
.
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