Sejam psi1 e psi2 duas soluções da equação de Schroedinger 1-dim, independente do tempo, com energias E1 e E2, respectivamente, sendo E1 diferente de E2. Pode psi=A psi1+B psi2, sendo A e B constantes não nulas, ser uma solução para a equação? Explique a sua resposta.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício nos pede para verificar se a função é uma solução da equação de Schrödinger independente do tempo, dado que e já são soluções com energias e diferentes. Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre superposição de estados na mecânica quântica e como a equação de Schrödinger funciona com combinações lineares de soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a equação de Schrödinger independente do tempo. Ela é dada por:
H psi = E psi
Aqui, é o operador Hamiltoniano, é a função de onda e é a energia associada a essa função de onda.

Passo 3

Sabemos que H psi1 = E1 psi1 e H psi2 = E2 psi2 e são soluções dessa equação com energias diferentes, ou seja:
Como , cada uma dessas funções de onda está associada a uma energia distinta.

Passo 4

Agora, vamos considerar a combinação linear H psi = H (A psi1 + B psi2) = A H psi1 + B H psi2 = A E1 psi1 + B E2 psi2 . Para verificar se também é uma solução da equação de Schrödinger, aplicamos o Hamiltoniano nela:

Passo 5

Para H psi = E psi implies A E1 psi1 + B E2 psi2 = E (A psi1 + B psi2) ser uma solução da equação de Schrödinger, deve existir uma energia A E1 psi1 + B E2 psi2 = A E psi1 + B E psi2 tal que:
Expandindo o lado direito:

Passo 6

Agora, igualando os coeficientes das funções A E1 = A E e B E2 = B E e E1 = E e E2 = E dos dois lados da equação, temos:
Como e são diferentes de zero, podemos dividir ambos os lados por e , respectivamente:

Passo 7

Mas isso é um problema! O exercício nos diz que , então não pode existir um único que satisfaça as duas igualdades ao mesmo tempo. Isso significa que a combinação linear não pode ser uma solução da equação de Schrödinger independente do tempo quando e são diferentes.

Resposta

Não, a combinação não é uma solução da equação de Schrödinger independente do tempo quando .

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