Uma barra fina não condutora de comprimento l acha-se carregada uniformemente com uma carga total q. Mostre que o valor do campo elétrico numa distância y da barra sobre sua mediatriz é dado por: E=[q /(2 pi varepsilon0 y)](l^2+4 y^2)^-1 / 2.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Eletrostática, que faz parte da física que estuda as cargas elétricas e os campos que elas geram. O problema nos pede para encontrar o campo elétrico gerado por uma barra fina não condutora, carregada uniformemente com uma carga total , a uma distância da barra sobre sua mediatriz. Para isso, vamos usar conceitos como densidade linear de carga e Lei de Coulomb.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a densidade linear de carga ( lambda = ql ), que é a carga por unidade de comprimento da barra. Como a carga total é e o comprimento da barra é , temos:

Passo 3

Para encontrar o campo elétrico em um ponto a uma distância da barra, vamos considerar um pequeno elemento de comprimento na barra. A carga desse elemento é .

Passo 4

De acordo com a Lei de Coulomb, o campo elétrico gerado por essa carga dE = 14 pi varepsilon0 cdot dqr^2 em um ponto a uma distância é:
Onde é a permissividade do vácuo.

Passo 5

No nosso caso, a distância r = raizx^2 + y^2 do elemento até o ponto onde queremos o campo é dada pelo teorema de Pitágoras:

Passo 6

O campo elétrico dEy = dE cdot yr = 14 pi varepsilon0 cdot lambda dxx^2 + y^2 cdot yraizx^2 + y^2 = lambda y4 pi varepsilon0 cdot dx(x^2 + y^2)^3/2 tem duas componentes: uma na direção x e outra na direção y. Devido à simetria da barra carregada, as componentes x de campos gerados por elementos simétricos se cancelam, deixando apenas a componente y.
A componente y de é:

Passo 7

Para encontrar o campo elétrico total E = integral-l2^l2 lambda y4 pi varepsilon0 cdot dx(x^2 + y^2)^3/2 , integramos ao longo de toda a barra. Considerando que a barra vai de a , temos:

Passo 8

A integral simplifica para:
E = lambda y4 pi varepsilon0 cdot [ xy^2 raizx^2 + y^2 ]-l2^l2 = lambda y4 pi varepsilon0 cdot ( l2y^2 raiz(l2)^2 + y^2 - (-l2y^2 raiz(l2)^2 + y^2) )

Passo 9

Simplificando a expressão:
E = lambda y4 pi varepsilon0 cdot ( l2 y^2 raizl^24 + y^2 + l2 y^2 raizl^24 + y^2 ) = lambda y4 pi varepsilon0 cdot ly^2 raizl^24 + y^2

Passo 10

Substituindo E = ql cdot y4 pi varepsilon0 cdot ly^2 raizl^24 + y^2 = q4 pi varepsilon0 y cdot 1raizl^24 + y^2 :

Passo 11

Multiplicando numerador e denominador por 2 para simplificar a expressão:
E = [ q2 pi varepsilon0 y ] cdot 1raizl^2 + 4y^2

Resposta

O campo elétrico a uma distância E = [q2 pi varepsilon0 y] (l^2 + 4 y^2)^-1/2 da barra sobre sua mediatriz é dado por:

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