Uma barra fina não condutora de comprimento acha-se carregada uniformemente com uma carga total q. Mostre que o valor do campo elétrico numa distância y da barra sobre sua mediatriz é dado por: .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Eletrostática, que faz parte da física que estuda as cargas elétricas e os campos que elas geram. O problema nos pede para encontrar o campo elétrico gerado por uma barra fina não condutora, carregada uniformemente com uma carga total , a uma distância da barra sobre sua mediatriz. Para isso, vamos usar conceitos como densidade linear de carga e Lei de Coulomb.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a densidade linear de carga ( ), que é a carga por unidade de comprimento da barra. Como a carga total é e o comprimento da barra é , temos:

Passo 3

Para encontrar o campo elétrico em um ponto a uma distância da barra, vamos considerar um pequeno elemento de comprimento na barra. A carga desse elemento é .

Passo 4

De acordo com a Lei de Coulomb, o campo elétrico gerado por essa carga em um ponto a uma distância é:
Onde é a permissividade do vácuo.

Passo 5

No nosso caso, a distância do elemento até o ponto onde queremos o campo é dada pelo teorema de Pitágoras:

Passo 6

O campo elétrico tem duas componentes: uma na direção x e outra na direção y. Devido à simetria da barra carregada, as componentes x de campos gerados por elementos simétricos se cancelam, deixando apenas a componente y.
A componente y de é:

Passo 7

Para encontrar o campo elétrico total , integramos ao longo de toda a barra. Considerando que a barra vai de a , temos:

Passo 8

A integral simplifica para:

Passo 9

Simplificando a expressão:

Passo 10

Substituindo :

Passo 11

Multiplicando numerador e denominador por 2 para simplificar a expressão:

Resposta

O campo elétrico a uma distância da barra sobre sua mediatriz é dado por:

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