Uma barra fina não condutora, com uma distribuição uniforme de carga positiva Q, tem a forma de um círculo de raio R. O eixo central do anel é o eixo z, com a origem no centro do anel. Determine o módulo do campo elétrico
(a) no ponto z = 0 e
(b) no ponto z = ∞.
© Em termos de R, para que valor positivo de z o módulo do campo elétrico é máximo?
(d) Se R = 2 cm e Q = 4 µC, qual é o valor máximo do campo?

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Estamos lidando com uma barra fina não condutora, que na verdade é um anel circular de raio $ R $ com uma distribuição uniforme de carga positiva total $ Q $. O objetivo é determinar o módulo do campo elétrico em diferentes pontos ao longo do eixo central $ z $ do anel.
Para resolver esse problema, vamos precisar entender:
  • Lei de Coulomb: que descreve a força elétrica entre cargas.
  • Princípio da Superposição: para somar as contribuições do campo elétrico de cada elemento de carga presente no anel.
  • Simetria do Problema: que nos ajudará a simplificar os cálculos, especialmente ao considerar que o anel é simétrico em torno do eixo $ z $.
Vamos resolver cada item passo a passo.

Passo 2

(a) Determinar o módulo do campo elétrico no ponto $ z = 0 $
Entendendo o Problema:
No ponto $ z = 0 $, estamos exatamente no centro do anel. Devido à simetria circular do anel, cada elemento de carga no anel tem um elemento oposto que cria um campo elétrico na direção oposta.
Aplicando a Teoria:
  • Superposição dos Campos: Cada par de cargas opostas no anel gera campos elétricos que se anulam mutuamente no centro.
  • Portanto, somando todas as contribuições, o campo elétrico resultante no centro é zero.
Resultado:
z = 0

Passo 3

(b) Determinar o módulo do campo elétrico no ponto $ z = \infty $
Entendendo o Problema:
Queremos saber como o campo elétrico se comporta quando nos afastamos muito do anel, ou seja, quando $ z $ tende ao infinito.
Aplicando a Teoria:
  • Campo Elétrico de uma Carga Pontual: Em grande distância, o anel de carga $ Q $ se comporta como uma carga pontual.
  • O campo elétrico de uma carga pontual diminui com o quadrado da distância: $ E \propto \frac{1}{z^2} $.
  • Portanto, quando $ z \to \infty $, $ E \to 0 $.
Resultado:
z = infty

Passo 4

© Determinar, em termos de $ R $, o valor positivo de $ z $ para o qual o módulo do campo elétrico é máximo
Entendendo o Problema:
Queremos encontrar o valor de $ z $ que maximiza o campo elétrico ao longo do eixo $ z $.
Aplicando a Teoria:
  1. Expressão do Campo Elétrico no Eixo $ z $ de um Anel Carregado:
    R
  2. Encontrando o Máximo:
    • Para maximizar $ E(z) $, derivamos $ E(z) $ em relação a $ z $ e igualamos a zero.
  3. Derivada de $ E(z) $:
    z
    Simplificando:
    z
Resultado:
O módulo do campo elétrico é máximo quando:
z

Passo 5

(d) Calcular o valor máximo do campo elétrico para $ R = 2 , cm $ e $ Q = 4 , \muC $
Entendendo o Problema:
Usando os valores fornecidos, vamos calcular o campo elétrico máximo encontrado no passo anterior.
Aplicando a Teoria:
  1. Dados:
    R = 2 , cm
  2. Posição onde o Campo é Máximo:
    Q = 4 , muC
  3. Calculando $ E $ na posição de máximo:
    R = 2 , cm = 0,02 , m Q = 4 , muC = 4 times 10^-6 , C
  4. Substituindo os Valores:
    z = Rraiz2 = 0,021,414 approx 0,01414 , m
  5. Calculando o Denominador:
    E
  6. Calculando o Campo:
    E = 14pivarepsilon0 cdot Qz(z^2 + R^2)^3/2
Resultado:
O valor máximo do campo elétrico é aproximadamente:
varepsilon0 = 8,85 times 10^-12 , C^2/Ncdotm^2 E = 14pi times 8,85 times 10^-12 cdot 4 times 10^-6 times 0,01414(0,01414^2 + 0,02^2)^3/2 á

Resposta

(a) $ E = 0 $
(b) $ E \to 0 $ quando $ z \to \infty $
© O campo elétrico é máximo em $ z = \dfrac{R}{\sqrt{2}} $
(d) O valor máximo do campo elétrico é aproximadamente $ 3,46 \times 10^{7} , N/C $

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