Uma barra fina não condutora, com uma distribuição uniforme de carga positiva Q, tem a forma de um círculo de raio R. O eixo central do anel é o eixo z, com a origem no centro do anel. Determine o módulo do campo elétrico
(a) no ponto z = 0 e
(b) no ponto z = ∞.
© Em termos de R, para que valor positivo de z o módulo do campo elétrico é máximo?
(d) Se R = 2 cm e Q = 4 µC, qual é o valor máximo do campo?
(a) no ponto z = 0 e
(b) no ponto z = ∞.
© Em termos de R, para que valor positivo de z o módulo do campo elétrico é máximo?
(d) Se R = 2 cm e Q = 4 µC, qual é o valor máximo do campo?
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Estamos lidando com uma barra fina não condutora, que na verdade é um anel circular de raio $ R $ com uma distribuição uniforme de carga positiva total $ Q $. O objetivo é determinar o módulo do campo elétrico em diferentes pontos ao longo do eixo central $ z $ do anel.
Para resolver esse problema, vamos precisar entender:
- Lei de Coulomb: que descreve a força elétrica entre cargas.
- Princípio da Superposição: para somar as contribuições do campo elétrico de cada elemento de carga presente no anel.
- Simetria do Problema: que nos ajudará a simplificar os cálculos, especialmente ao considerar que o anel é simétrico em torno do eixo $ z $.
Vamos resolver cada item passo a passo.
Passo 2
(a) Determinar o módulo do campo elétrico no ponto $ z = 0 $
Entendendo o Problema:
No ponto $ z = 0 $, estamos exatamente no centro do anel. Devido à simetria circular do anel, cada elemento de carga no anel tem um elemento oposto que cria um campo elétrico na direção oposta.
No ponto $ z = 0 $, estamos exatamente no centro do anel. Devido à simetria circular do anel, cada elemento de carga no anel tem um elemento oposto que cria um campo elétrico na direção oposta.
Aplicando a Teoria:
- Superposição dos Campos: Cada par de cargas opostas no anel gera campos elétricos que se anulam mutuamente no centro.
- Portanto, somando todas as contribuições, o campo elétrico resultante no centro é zero.
Resultado:
Passo 3
(b) Determinar o módulo do campo elétrico no ponto $ z = \infty $
Entendendo o Problema:
Queremos saber como o campo elétrico se comporta quando nos afastamos muito do anel, ou seja, quando $ z $ tende ao infinito.
Queremos saber como o campo elétrico se comporta quando nos afastamos muito do anel, ou seja, quando $ z $ tende ao infinito.
Aplicando a Teoria:
- Campo Elétrico de uma Carga Pontual: Em grande distância, o anel de carga $ Q $ se comporta como uma carga pontual.
- O campo elétrico de uma carga pontual diminui com o quadrado da distância: $ E \propto \frac{1}{z^2} $.
- Portanto, quando $ z \to \infty $, $ E \to 0 $.
Resultado:
Passo 4
© Determinar, em termos de $ R $, o valor positivo de $ z $ para o qual o módulo do campo elétrico é máximo
Entendendo o Problema:
Queremos encontrar o valor de $ z $ que maximiza o campo elétrico ao longo do eixo $ z $.
Queremos encontrar o valor de $ z $ que maximiza o campo elétrico ao longo do eixo $ z $.
Aplicando a Teoria:
-
Expressão do Campo Elétrico no Eixo $ z $ de um Anel Carregado:
-
Encontrando o Máximo:
- Para maximizar $ E(z) $, derivamos $ E(z) $ em relação a $ z $ e igualamos a zero.
-
Derivada de $ E(z) $:Simplificando:
Resultado:
O módulo do campo elétrico é máximo quando:
O módulo do campo elétrico é máximo quando:
Passo 5
(d) Calcular o valor máximo do campo elétrico para $ R = 2 , cm $ e $ Q = 4 , \muC $
Entendendo o Problema:
Usando os valores fornecidos, vamos calcular o campo elétrico máximo encontrado no passo anterior.
Usando os valores fornecidos, vamos calcular o campo elétrico máximo encontrado no passo anterior.
Aplicando a Teoria:
-
Dados:
-
Posição onde o Campo é Máximo:
-
Calculando $ E $ na posição de máximo:
-
Substituindo os Valores:
-
Calculando o Denominador:
-
Calculando o Campo:
Resultado:
O valor máximo do campo elétrico é aproximadamente:
O valor máximo do campo elétrico é aproximadamente:
Resposta
(a) $ E = 0 $
(b) $ E \to 0 $ quando $ z \to \infty $
© O campo elétrico é máximo em $ z = \dfrac{R}{\sqrt{2}} $
(d) O valor máximo do campo elétrico é aproximadamente $ 3,46 \times 10^{7} , N/C $
(b) $ E \to 0 $ quando $ z \to \infty $
© O campo elétrico é máximo em $ z = \dfrac{R}{\sqrt{2}} $
(d) O valor máximo do campo elétrico é aproximadamente $ 3,46 \times 10^{7} , N/C $