Um imã permanente, com a forma de um cilindro circular reto, de comprimento
e raio
, está orientado de maneira que seu eixo de simetria coincida com o eixo z. A origem do sistema de coordenadas está no centro do imã. Se o cilindro tiver magnetização axial uniforme M determine o potencial
em todos os pontos sobre o eixo de simetria.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um imã permanente que é um cilindro com comprimento $ L $ e raio $ R $. Esse imã está alinhado com o eixo $ z $ e a origem está no meio dele. A magnetização axial é uniforme, ou seja, $ M $ é constante ao longo do eixo. Nosso objetivo aqui é encontrar o potencial magnético $ \varphi^{*} $ em qualquer ponto sobre o eixo de simetria $ z $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de magnetostática, especificamente como a magnetização gera um potencial magnético em pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a magnetização $ M $ de um material cria “cargas magnéticas” efetivas. Essas cargas são divididas em cargas de volume e cargas de superfície. No nosso caso, como a magnetização é uniforme e só existe ao longo do eixo $ z $, as únicas contribuições relevantes vêm das cargas de superfície nos extremos do cilindro.
Passo 3
As cargas de superfície magnéticas $ \sigma_m $ podem ser calculadas usando a relação:
onde $ \mathbf{n} $ é o vetor normal à superfície. No caso do cilindro, nas bases superior e inferior, $ \mathbf{n} $ é paralelo a $ \mathbf{M} $, então:
em cima da base superior, e
na base inferior, já que o vetor normal aponta para fora.
Passo 4
Agora, para encontrar o potencial $ \varphi^{*} $ em um ponto do eixo $ z $, vamos integrar a contribuição das cargas de superfície. O potencial devido a uma carga de superfície $ \sigma_m $ em um ponto a uma distância $ d $ é dado por:
Neste caso, temos duas contribuições: uma da base superior e outra da base inferior.
Passo 5
Vamos considerar um ponto no eixo $ z $ a uma distância $ z $ da origem. A distância $ d $ da carga na base superior até esse ponto é:
e da base inferior:
Então, o potencial total $ \varphi^{*} $ será a soma das contribuições dessas duas cargas.
Passo 6
Substituindo os valores das cargas de superfície e das distâncias, temos:
Esse é o potencial magnético no ponto $ z $ sobre o eixo de simetria.
Resposta
O potencial magnético $ \varphi^{*} $ em qualquer ponto sobre o eixo de simetria é dado por: