Uma barra linear de um metro de comprimento é mantida a 0 graus em um extremo e a 128 graus no outro. Desejamos determinar a temperatura da barra a cada 20 cm . Denominando de T0 a temperatura de um extremo, de T5 a temperatura no outro extremo e de T1, T2, T3 e T4 a temperatura nos pontos interiores e sabendo que a temperatura em cada ponto interior é igual à média aritmética da temperatura de seus dois pontos vizinhos:
Determine a solução deste sistema a partir de um método direto (exemplo eliminação de Gauss).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma barra de 1 metro dividida em 5 partes iguais de 20 cm cada. Nos extremos, as temperaturas são fixas: 0°C em um lado (T₀) e 128°C no outro (T₅). Nosso objetivo é encontrar as temperaturas nos pontos intermediários: T₁, T₂, T₃ e T₄. Para isso, vamos usar um sistema de equações onde a temperatura em cada ponto interior é a média das temperaturas dos pontos vizinhos. Vamos precisar usar álgebra linear e o método de eliminação de Gauss para resolver o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a condição dada: a temperatura em cada ponto interior é igual à média das temperaturas dos pontos vizinhos. Matemáticamente, isso fica assim:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Vamos aplicar isso para cada um dos pontos T₁, T₂, T₃ e T₄.
Passo 3
Vamos montar as equações para cada ponto interior:
Para T₁:
Sabemos que T₀ = 0, então:
Para T₂:
Para T₃:
Para T₄:
Sabemos que T₅ = 128, então:
Passo 4
Agora, escrevemos o sistema linear resultante:
Podemos representar esse sistema na forma matricial , onde:
Passo 5
Vamos aplicar a eliminação de Gauss para resolver o sistema. A ideia é transformar a matriz aumentada [A | b] em uma forma triangular superior, facilitando a resolução por substituição.
A matriz aumentada inicial é:
Vamos começar a eliminar os termos abaixo da diagonal principal.
Passo 6
Primeira Eliminação:
Para eliminar o elemento abaixo de na primeira coluna (linha 2), fazemos:
Calculando:
Nova matriz:
Passo 7
Segunda Eliminação:
Agora, vamos eliminar o elemento abaixo de na segunda coluna (linha 3).
Fator para eliminar:
Calculando:
Nova matriz:
Passo 8
Terceira Eliminação:
Vamos eliminar o elemento abaixo de na terceira coluna (linha 4).
Fator para eliminar:
Calculando:
Nova matriz:
Passo 9
Agora que a matriz está na forma triangular superior, podemos resolver as variáveis de baixo para cima (substituição regressiva).
Começamos pela última equação:
Resolvendo para :
Passo 10
Agora, vamos para a terceira equação:
Sabemos que , então:
Passo 11
Agora, a segunda equação:
Substituindo :
Passo 12
Finalmente, a primeira equação:
Substituindo :
Resposta
As temperaturas nos pontos intermediários são aproximadamente: