Uma barra linear de um metro de comprimento é mantida a 0 graus em um extremo e a 128 graus no outro. Desejamos determinar a temperatura da barra a cada 20 cm . Denominando de T0 =0 a temperatura de um extremo, de T5 =128 a temperatura no outro extremo e de T1, T2, T3 e T4 a temperatura nos pontos interiores e sabendo que a temperatura em cada ponto interior é igual à média aritmética da temperatura de seus dois pontos vizinhos:
Determine a solução deste sistema a partir de um método direto (exemplo eliminação de Gauss).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma barra de 1 metro dividida em 5 partes iguais de 20 cm cada. Nos extremos, as temperaturas são fixas: 0°C em um lado (T₀) e 128°C no outro (T₅). Nosso objetivo é encontrar as temperaturas nos pontos intermediários: T₁, T₂, T₃ e T₄. Para isso, vamos usar um sistema de equações onde a temperatura em cada ponto interior é a média das temperaturas dos pontos vizinhos. Vamos precisar usar álgebra linear e o método de eliminação de Gauss para resolver o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a condição dada: a temperatura em cada ponto interior é igual à média das temperaturas dos pontos vizinhos. Matemáticamente, isso fica assim:
Ti = Ti-1 + Ti+12
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
2Ti = Ti-1 + Ti+1
Vamos aplicar isso para cada um dos pontos T₁, T₂, T₃ e T₄.

Passo 3

Vamos montar as equações para cada ponto interior:
  1. Para T₁:
2T1 = T0 + T2
Sabemos que T₀ = 0, então:
2T1 = 0 + T2 implies 2T1 - T2 = 0
  1. Para T₂:
2T2 = T1 + T3
- T1 + 2T2 - T3 = 0
  1. Para T₃:
2T3 = T2 + T4
- T2 + 2T3 - T4 = 0
  1. Para T₄:
2T4 = T3 + T5
Sabemos que T₅ = 128, então:
2T4 = T3 + 128 implies -T3 + 2T4 = 128

Passo 4

Agora, escrevemos o sistema linear resultante:
2T1 - T2 = 0 - T1 + 2T2 - T3 = 0 - T2 + 2T3 - T4 = 0 - T3 + 2T4 = 128
Podemos representar esse sistema na forma matricial A = 2 & -1 & 0 & 0 -1 & 2 & -1 & 0 0 & -1 & 2 & -1 0 & 0 & -1 & 2 , T = T1 T2 T3 T4 , b = 0 0 0 128 , onde:

Passo 5

Vamos aplicar a eliminação de Gauss para resolver o sistema. A ideia é transformar a matriz aumentada [A | b] em uma forma triangular superior, facilitando a resolução por substituição.
A matriz aumentada inicial é:
2 & -1 & 0 & 0 & | & 0 -1 & 2 & -1 & 0 & | & 0 0 & -1 & 2 & -1 & | & 0 0 & 0 & -1 & 2 & | & 128
Vamos começar a eliminar os termos abaixo da diagonal principal.

Passo 6

Primeira Eliminação:
Para eliminar o elemento abaixo de Linha 2 = Linha 2 + (12) times Linha 1 na primeira coluna (linha 2), fazemos:
-1 + (12 times 2) = -1 + 1 = 0 2 + (12 times -1) = 2 - 0.5 = 1.5 -1 + (12 times 0) = -1 + 0 = -1 0 + (12 times 0) = 0 0 + (12 times 0) = 0
Calculando:
2 & -1 & 0 & 0 & | & 0 0 & 1.5 & -1 & 0 & | & 0 0 & -1 & 2 & -1 & | & 0 0 & 0 & -1 & 2 & | & 128
Nova matriz:

Passo 7

Segunda Eliminação:
Agora, vamos eliminar o elemento abaixo de Linha 3 = Linha 3 + (-23) times Linha 2 na segunda coluna (linha 3).
Fator para eliminar: 0 + (-23 times 0) = 0 -1 + (-23 times 1.5) = -1 - 1 = -2 2 + (-23 times -1) = 2 + 23 = 83 -1 + (-23 times 0) = -1 0 + (-23 times 0) = 0
2 & -1 & 0 & 0 & | & 0 0 & 1.5 & -1 & 0 & | & 0 0 & 0 & 83 & -1 & | & -2 0 & 0 & -1 & 2 & | & 128
Calculando:
Nova matriz:

Passo 8

Terceira Eliminação:
Vamos eliminar o elemento abaixo de Linha 4 = Linha 4 + (-38) times Linha 3 na terceira coluna (linha 4).
Fator para eliminar: 0 + (-38 times 0) = 0 0 + (-38 times 0) = 0 -1 + (-38 times 83) = -1 - 1 = -2 2 + (-38 times -1) = 2 + 38 = 198 128 + (-38 times -2) = 128 + 68 = 128 + 0.75 = 128.75
2 & -1 & 0 & 0 & | & 0 0 & 1.5 & -1 & 0 & | & 0 0 & 0 & 83 & -1 & | & -2 0 & 0 & 0 & 198 & | & 128.75
Calculando:
Nova matriz:

Passo 9

Agora que a matriz está na forma triangular superior, podemos resolver as variáveis de baixo para cima (substituição regressiva).
Começamos pela última equação:
198 T4 = 128.75
Resolvendo para T4 = 128.75 times 819 = 103019 = 54.21 , °C , (aproximadamente) :

Passo 10

Agora, vamos para a terceira equação:
83 T3 - T4 = -2
Sabemos que 83 T3 - 54.21 = -2 83 T3 = 54.21 - 2 83 T3 = 52.21 T3 = 52.21 times 38 T3 approx 19.58 , °C , então:

Passo 11

Agora, a segunda equação:
1.5 T2 - T3 = 0
Substituindo 1.5 T2 - 19.58 = 0 1.5 T2 = 19.58 T2 = 19.581.5 T2 approx 13.05 , °C :

Passo 12

Finalmente, a primeira equação:
2 T1 - T2 = 0
Substituindo 2 T1 - 13.05 = 0 2 T1 = 13.05 T1 = 13.052 T1 approx 6.53 , °C :

Resposta

As temperaturas nos pontos intermediários são aproximadamente:
T1 approx 6.53,°C, T2 approx 13.05,°C, T3 approx 19.58,°C, T4 approx 54.21,°C

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