Uma barra longa feita de material condutor, com diâmetro D e resistência elétrica por unidade de comprimento Ree encontra-se inicialmente em equilíbrio térmico com o ar ambiente e sua vizinhança. Esse equilíbrio é perturbado quando uma corrente elétrica I é passada através do bastão. Desenvolva uma equação para calcular a variação de temperatura da barra em função do tempo durante a passagem da corrente.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma barra longa de material condutor com diâmetro e resistência elétrica por unidade de comprimento . Inicialmente, ela está em equilíbrio térmico com o ar e o ambiente ao redor. Quando passamos uma corrente elétrica por essa barra, o equilíbrio térmico é perturbado, e a temperatura da barra começa a variar com o tempo. Nosso objetivo é desenvolver uma equação que descreva essa variação de temperatura em função do tempo durante a passagem da corrente.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de resistência elétrica, geração de calor por efeito Joule, capacidade térmica da barra e transferência de calor para o ambiente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a potência dissipada na barra devido à passagem da corrente elétrica. A potência P = I^2 R dissipada por efeito Joule em uma resistência é dada por:
Aqui, é a corrente elétrica e é a resistência.

Passo 3

Como a resistência R = Ree cdot L é por unidade de comprimento , e a barra tem um comprimento , a resistência total da barra é:

Passo 4

Substituindo P = I^2 cdot Ree cdot L na equação da potência:
Essa é a potência gerada na barra devido à corrente elétrica.

Passo 5

Agora, vamos considerar como essa potência afeta a temperatura da barra. A variação de energia térmica na barra está relacionada à sua capacidade térmica. A capacidade térmica C = m cdot c de um objeto é dada por:
onde é a massa e é o calor específico do material.

Passo 6

A massa m = rho cdot V da barra pode ser expressa em função do seu volume e densidade V = pi (D2)^2 L :
m = rho cdot pi (D2)^2 L
O volume de uma barra cilíndrica é:
Portanto,

Passo 7

Substituindo C = rho cdot pi (D2)^2 L cdot c na expressão da capacidade térmica:

Passo 8

A taxa de variação da energia térmica na barra é igual à potência dissipada menos a taxa de perda de calor para o ambiente. Supondo que a perda de calor seja proporcional à diferença de temperatura, podemos escrever:
dQdt = P - h A De
onde:
  • é a taxa de variação da energia térmica,
  • é o coeficiente de transferência de calor,
  • é a área de superfície da barra.

Passo 9

Igualando a taxa de variação da energia térmica à capacidade térmica vezes a taxa de variação da temperatura:
C dDe

Passo 10

A área de superfície A = pi D L da barra é:

Passo 11

Substituindo C dDe na equação:

Passo 12

Dividindo ambos os lados por dDe:

Passo 13

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral para esse tipo de equação é:
De

Resposta

A variação de temperatura da barra em funç��o do tempo durante a passagem da corrente é dada por:
De

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