Uma barra longa feita de material condutor, com diâmetro D e resistência elétrica por unidade de comprimento
encontra-se inicialmente em equilíbrio térmico com o ar ambiente e sua vizinhança. Esse equilíbrio é perturbado quando uma corrente elétrica
é passada através do bastão. Desenvolva uma equação para calcular a variação de temperatura da barra em função do tempo durante a passagem da corrente.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma barra longa de material condutor com diâmetro
e resistência elétrica por unidade de comprimento
. Inicialmente, ela está em equilíbrio térmico com o ar e o ambiente ao redor. Quando passamos uma corrente elétrica
por essa barra, o equilíbrio térmico é perturbado, e a temperatura da barra começa a variar com o tempo. Nosso objetivo é desenvolver uma equação que descreva essa variação de temperatura
em função do tempo durante a passagem da corrente.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de resistência elétrica, geração de calor por efeito Joule, capacidade térmica da barra e transferência de calor para o ambiente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a potência dissipada na barra devido à passagem da corrente elétrica. A potência
dissipada por efeito Joule em uma resistência é dada por:
Aqui,
é a corrente elétrica e
é a resistência.
Passo 3
Como a resistência
é por unidade de comprimento
, e a barra tem um comprimento
, a resistência total da barra é:
Passo 4
Substituindo
na equação da potência:
Essa é a potência gerada na barra devido à corrente elétrica.
Passo 5
Agora, vamos considerar como essa potência afeta a temperatura da barra. A variação de energia térmica na barra está relacionada à sua capacidade térmica. A capacidade térmica
de um objeto é dada por:
onde
é a massa e
é o calor específico do material.
Passo 6
A massa
da barra pode ser expressa em função do seu volume e densidade
:
O volume
de uma barra cilíndrica é:
Portanto,
Passo 7
Substituindo
na expressão da capacidade térmica:
Passo 8
A taxa de variação da energia térmica na barra é igual à potência dissipada menos a taxa de perda de calor para o ambiente. Supondo que a perda de calor seja proporcional à diferença de temperatura, podemos escrever:
onde:
-
é a taxa de variação da energia térmica, -
é o coeficiente de transferência de calor, -
é a área de superfície da barra.
Passo 9
Igualando a taxa de variação da energia térmica à capacidade térmica vezes a taxa de variação da temperatura:
Passo 10
A área de superfície
da barra é:
Passo 11
Substituindo
na equação:
Passo 12
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 13
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral para esse tipo de equação é:
Resposta
A variação de temperatura da barra em funç��o do tempo durante a passagem da corrente é dada por: