A superfície de um ferro bruto é endurecida mergulhando-o em um composto com carbono em um forno a alta temperatura por um determinado tempo. Considere tal peça metálica com uma concentração inicial e uniforme de carbono de 15 % em massa. A peça é mergulhada em uma fonte de material carbonáceo (ex. óleo quente) e colocado em alta temperatura no forno. O coeficiente de difusividade do carbono no ferro nessa temperatura é de: 4,8.10^-10 m^2 s^-1 e a concentração de equilíbrio do carbono na interface ferro-carbono é de 1,2% em massa. Determine quanto tempo a peça de ferro deve permanecer no forno para que a concentração de carbono chegue a 1 % em uma camada a 0,5 mm da superfície.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. A gente tem uma peça de ferro que inicialmente tem 15% de carbono distribuído igualmente por toda ela. A ideia é endurecer essa peça mergulhando ela em um material que tem carbono, tipo óleo quente, e colocando no forno bem quente. A gente sabe que o carbono difunde no ferro com um coeficiente de e que na interface entre o ferro e o carbono a concentração de carbono chega a 1,2%. A pergunta é: quanto tempo essa peça precisa ficar no forno para que, a 0,5 mm da superfície, a concentração de carbono chegue a 1%?

Passo 2

Vamos resolver isso usando a difusão, que é o processo pelo qual as partículas (no caso, o carbono) se espalham de uma região de maior concentração para outra de menor concentração. A equação que descreve a difusão unidimensional em estado estacionário é baseada na Lei de Fick.
A fórmula que vamos usar para saber o tempo necessário é:
C(x, t) = Cs + (C0 - Cs) cdot erf(x2raizD t)
Aqui:
  • erf(x2raizD t) = C(x, t) - CsC0 - Cs é a concentração de carbono a uma distância erf(0,00052raiz4,8 times 10^-10 , t) = 1 - 1,215 - 1,2 da superfície após o tempo erf(0,00052raiz4,8 times 10^-10 , t) = -0,213,8 approx -0,01449 .
  • erf(0,00052raiz4,8 times 10^-10 , t) approx -0,01449 é a concentração de equilíbrio na interface, que é 1,2%.
  • erf(0,00052raiz4,8 times 10^-10 , t) approx 0,01449 é a concentração inicial, que é 15%.
  • erf(z) approx 2raizpi z é o coeficiente de difusividade, 0,01449 approx 2raizpi cdot 0,00052raiz4,8 times 10^-10 , t .
  • 0,01449 approx 0,0005raizpi raiz4,8 times 10^-10 , t é a função erro, uma função matemática que aparece em problemas de difusão.
Queremos encontrar o tempo raizt approx 0,00050,01449 raizpi raiz4,8 times 10^-10 quando raizpi approx 1,77245 for 1% a uma distância raiz4,8 times 10^-10 approx 2,19089 times 10^-5 .
Primeiro, rearranjamos a equação para isolar a função erro:
raizt approx 0,00050,01449 times 1,77245 times 2,19089 times 10^-5 approx 0,00055,617 times 10^-7 approx 891,3
Substituindo os valores:
t approx (891,3)^2 approx 794,4 times 10^3 , s
Simplificando o lado direito:
t approx 7944003600 approx 220,7 , horas
Como a função erro é ímpar, , então:
Tomando o valor absoluto:
Agora, precisamos encontrar o argumento que da essa função erro. Para valores pequenos de , podemos aproximar:
Então:
Simplificando:
Isolando :
Calculando os valores numéricos:
Substituindo:
Elevando ao quadrado para encontrar :
Convertendo para horas:

Resposta

A peça de ferro deve permanecer no forno por aproximadamente 221 horas para que a concentração de carbono chegue a 1% a 0,5 mm da superfície.

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