A superfície de um ferro bruto é endurecida mergulhando-o em um composto com carbono em um forno a alta temperatura por um determinado tempo. Considere tal peça metálica com uma concentração inicial e uniforme de carbono de
em massa. A peça é mergulhada em uma fonte de material carbonáceo (ex. óleo quente) e colocado em alta temperatura no forno. O coeficiente de difusividade do carbono no ferro nessa temperatura é de:
e a concentração de equilíbrio do carbono na interface ferro-carbono é de 1,2% em massa. Determine quanto tempo a peça de ferro deve permanecer no forno para que a concentração de carbono chegue a
em uma camada a
da superfície.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. A gente tem uma peça de ferro que inicialmente tem 15% de carbono distribuído igualmente por toda ela. A ideia é endurecer essa peça mergulhando ela em um material que tem carbono, tipo óleo quente, e colocando no forno bem quente. A gente sabe que o carbono difunde no ferro com um coeficiente de
e que na interface entre o ferro e o carbono a concentração de carbono chega a 1,2%. A pergunta é: quanto tempo essa peça precisa ficar no forno para que, a 0,5 mm da superfície, a concentração de carbono chegue a 1%?
Passo 2
Vamos resolver isso usando a difusão, que é o processo pelo qual as partículas (no caso, o carbono) se espalham de uma região de maior concentração para outra de menor concentração. A equação que descreve a difusão unidimensional em estado estacionário é baseada na Lei de Fick.
A fórmula que vamos usar para saber o tempo necessário é:
Aqui:
-
é a concentração de carbono a uma distância da superfície após o tempo . -
é a concentração de equilíbrio na interface, que é 1,2%. -
é a concentração inicial, que é 15%. -
é o coeficiente de difusividade, . -
é a função erro, uma função matemática que aparece em problemas de difusão.
Queremos encontrar o tempo
quando
for 1% a uma distância
.
Primeiro, rearranjamos a equação para isolar a função erro:
Substituindo os valores:
Simplificando o lado direito:
Como a função erro é ímpar,
, então:
Tomando o valor absoluto:
Agora, precisamos encontrar o argumento que da essa função erro. Para valores pequenos de
, podemos aproximar:
Então:
Simplificando:
Isolando
:
Calculando os valores numéricos:
Substituindo:
Elevando ao quadrado para encontrar
:
Convertendo para horas:
Resposta
A peça de ferro deve permanecer no forno por aproximadamente 221 horas para que a concentração de carbono chegue a 1% a 0,5 mm da superfície.