Considere a condução de calor estacionária, unidimensional, em um cilindro oco com condutividade térmica constante na região a <= r <= b. Gera-se calor no cilindro a uma taxa de go W/m3, enquanto se dissipa calor por convecção para correntes fluidas no interior e no exterior do tubo cilíndrico. Os coeficientes de transferência de calor para os fluidos, no interior e no exterior, são ha e hb, respectivamente, e as temperaturas dos fluidos no interior e no exterior são Ta e Tb, respectivamente. Escreva a formulação matemática deste problema de condução de calor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre condução de calor estacionária em um cilindro oco. Isso quer dizer que a temperatura não muda com o tempo e o calor está se movendo apenas na direção radial do cilindro. Para resolver, vamos precisar usar a equação de condução de calor na condição estacionária e aplicar as condições de contorno de convecção tanto no interior quanto no exterior do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas para o caso estacionário e unidimensional (apenas na direção radial). A equação geral é:
1r ddr ( r dTdr ) + qgk = 0
Aqui, é a temperatura, é a coordenada radial, é a taxa de geração de calor interna, e é a condutividade térmica.

Passo 3

Agora, precisamos aplicar as condições de contorno. No interior do cilindro ( -k dTdr |r=a = ha (T(a) - Ta) ), o calor se dissipa por convecção para o fluido interno com coeficiente k dTdr |r=b = hb (T(b) - Tb) e temperatura do fluido . A condição de contorno fica:
Da mesma forma, no exterior do cilindro ( ), a dissipação é para o fluido externo com coeficiente e temperatura do fluido :

Passo 4

Vamos resumir a formulação matemática. Temos a equação diferencial que descreve a condução de calor com geração interna e as duas condições de contorno de convecção.

Passo 5

Portanto, a formulação matemática completa do problema é:
1r ddr ( r dTdr ) + qgk = 0, & a <= r <= b -k dTdr |r=a = ha (T(a) - Ta) k dTdr |r=b = hb (T(b) - Tb)

Resposta

A formulação matemática do problema é:
1r ddr ( r dTdr ) + qgk = 0, & a <= r <= b -k dTdr |r=a = ha (T(a) - Ta) k dTdr |r=b = hb (T(b) - Tb)

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