Um arame de aço com 50 m de comprimento deve suportar uma carga de 9 kN em tração. Determine o menor diâmetro para o arame, sabendo que a tensão normal não deve exceder 150 MPa e que o aumento no comprimento não pode ultrapassar 25 mm . Use E = 200 GPa .
Resposta: 10,70 mm
Resposta: 10,70 mm
Passo 1
Vamos lá! Temos um exercício de Mecânica dos Materiais onde precisamos encontrar o menor diâmetro de um arame de aço que suporta uma carga de tração. O enunciado nos dá algumas condições: a tensão normal não pode passar de 150 MPa e o aumento no comprimento não pode exceder 25 mm. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas de tensão, deformação e do módulo de elasticidade. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área mínima do arame necessária para que a tensão não ultrapasse 150 MPa. A tensão (
) é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a tensão -
é a força aplicada -
é a área da seção transversal
Queremos que
MPa. Então, rearranjando a fórmula para encontrar
:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos verificar a condição de alongamento máximo. A deformação (
) pode ser calculada pela fórmula:
Onde:
-
é o aumento no comprimento -
é o comprimento original -
é o módulo de elasticidade
Queremos que
. Vamos rearranjar a fórmula para encontrar
:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, comparamos as duas áreas que calculamos para garantir que ambas as condições sejam atendidas:
- Área para tensão:
- Área para alongamento:
A área necessária é a maior dos dois valores para que ambas as restrições sejam satisfeitas. Portanto, usamos
.
Passo 5
Finalmente, vamos calcular o diâmetro mínimo do arame a partir da área. A área da seção transversal de um círculo é:
Rearranjando para encontrar
:
Substituindo
:
Resposta
10,70 mm