Um arame de aço com 50 m de comprimento deve suportar uma carga de 9 kN em tração. Determine o menor diâmetro para o arame, sabendo que a tensão normal não deve exceder 150 MPa e que o aumento no comprimento não pode ultrapassar 25 mm . Use E = 200 GPa .
Resposta: 10,70 mm

Passo 1

Vamos lá! Temos um exercício de Mecânica dos Materiais onde precisamos encontrar o menor diâmetro de um arame de aço que suporta uma carga de tração. O enunciado nos dá algumas condições: a tensão normal não pode passar de 150 MPa e o aumento no comprimento não pode exceder 25 mm. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas de tensão, deformação e do módulo de elasticidade. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área mínima do arame necessária para que a tensão não ultrapasse 150 MPa. A tensão ( sigma = FA ) é dada pela fórmula:
A = Fsigma
Onde:
  • F = 9,kN = 9000,N é a tensão
  • sigma = 150,MPa = 150 times 10^6,N/m^2 é a força aplicada
  • A = 9000150 times 10^6 = 6 times 10^-5,m^2 é a área da seção transversal
Queremos que MPa. Então, rearranjando a fórmula para encontrar :
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos verificar a condição de alongamento máximo. A deformação ( varepsilon = De) pode ser calculada pela fórmula:
A = F LE De
Onde:
  • E = 200,GPa = 200 times 10^9,N/m^2 é o aumento no comprimento
  • L = 50,m é o comprimento original
  • A = 9000 times 50200 times 10^9 times 0,025 = 9 times 10^-5,m^2 é o módulo de elasticidade
Queremos que . Vamos rearranjar a fórmula para encontrar :
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, comparamos as duas áreas que calculamos para garantir que ambas as condições sejam atendidas:
  • Área para tensão:
  • Área para alongamento:
A área necessária é a maior dos dois valores para que ambas as restrições sejam satisfeitas. Portanto, usamos .

Passo 5

Finalmente, vamos calcular o diâmetro mínimo do arame a partir da área. A área da seção transversal de um círculo é:
A = pi d^24
Rearranjando para encontrar d = raiz4Api :
d = raiz4 times 9 times 10^-5pi approx 0,0107,m = 10,70,mm
Substituindo :

Resposta

10,70 mm

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