Uma barra de náilon com diâmetro d1=69,85 mm foi colocada dentro de um tubo de aço com diâmetro interno d2=70,104 mm. A barra de náilon foi comprimida uniformemente por uma carga axial P. Determine qual o valor de P em kN para que o espaço entre a barra de náilon e o tubo de aço seja completamente preenchido. Dados: para o náilon considere E=3100 MPa; coeficiente de Poisson de 0,4. [Resposta: P = 1 0 8 k N ].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma barra de náilon dentro de um tubo de aço. A barra tem diâmetro de d1 = 69,85 mm e o tubo de aço tem diâmetro interno de d2 = 70,104 mm. A barra de náilon está sendo comprimida por uma força axial P. Nosso objetivo é encontrar o valor de P que faz com que o espaço entre a barra e o tubo seja completamente preenchido. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente tensões e deformações e o coeficiente de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa preencher o espaço entre a barra de náilon e o tubo de aço. Isso quer dizer que a barra de náilon, ao ser comprimida, vai sofrer uma deformação que, devido ao coeficiente de Poisson, causará uma expansão radial. Precisamos calcular essa expansão para que o diâmetro final da barra seja igual ao diâmetro interno do tubo.

Passo 3

Vamos calcular a variação de diâmetro que a barra de náilon precisa sofrer. O diâmetro final deve ser igual ao diâmetro do tubo:
dfinal = d2 = 70,104 mm
A variação de diâmetro De é:
De

Passo 4

Essa variação de diâmetro ocorre por causa da deformação radial causada pela compressão axial. O coeficiente de Poisson nu relaciona a deformação axial varepsilonaxial com a deformação radial varepsilonradial:
varepsilonradial = -nu cdot varepsilonaxial
Como estamos comprimindo a barra, a deformação axial será negativa, mas a deformação radial será positiva, indicando expansão.

Passo 5

Vamos relacionar a variação de diâmetro com a deformação radial. A deformação radial é:
varepsilonradial = De

Passo 6

Usando a relação do coeficiente de Poisson:
0,00364 = -0,4 cdot varepsilonaxial
Resolvendo para varepsilonaxial:
varepsilonaxial = -0,003640,4 = -0,0091

Passo 7

A deformação axial também está relacionada à carga axial P e ao módulo de elasticidade E pela fórmula:
varepsilonaxial = PA cdot E
Onde A é a área da seção transversal da barra de náilon. Primeiro, calculamos a área:
A = pi cdot d1^24 = pi cdot (69,85 mm)^24 approx 3841,6 mm^2

Passo 8

Agora, substituímos os valores na equação da deformação axial:
-0,0091 = P3841,6 mm^2 cdot 3100 MPa
Lembrando que 1 MPa = 1 N/mm^2, então:
-0,0091 = P3841,6 times 3100 Rightarrow P = -0,0091 times 3841,6 times 3100

Passo 9

Calculando o valor de P:
P = -0,0091 times 3841,6 times 3100 approx -108.000 N
Como a carga é axial e estamos interessados no valor positivo, temos:
P approx 108 kN

Resposta

P = 108 , kN

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