O poste de concreto armado do Prob, 2.23 sofre uma redução de temperatura de 90^circ F. Determinar as tensões provocadas no aço e no concreto por essa variação de temperatura. Adotar para o aço alpha=6,5 times 10^-6 / F e para o concreto alpha=5,5 times 10^-6 / ^circ F.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um poste de concreto armado que sofreu uma redução de temperatura de 90^circ F. Precisamos descobrir quais são as tensões que isso gera tanto no aço quanto no concreto. Para resolver isso, vamos usar os coeficientes de dilatação térmica fornecidos: alphaaço = 6,5 times 10^-6 / Fç e alphaconcreto = 5,5 times 10^-6 / F. Vamos precisar também considerar o módulo de elasticidade de cada material para calcular as tensões resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando a temperatura muda. Cada material tem um coeficiente de dilatação térmica ( alpha) que indica quanto ele se expande ou se contrai com a variação de temperatura. A mudança de temperatura ( De) é de -90^circ F (redução).
A deformação térmica livre de cada material seria:
epsilonaço = alphaaço times Deçç
epsilonconcreto = alphaconcreto times De
Esses valores representam quanto cada material gostaria de se contrair se estivesse livre para isso.

Passo 3

No entanto, como o poste é composto por aço e concreto juntos, eles estão presos um ao outro. Isso significa que a deformação real será a mesma para ambos os materiais. Portanto, teremos que equilibrar as tensões geradas para que as deformações se anulam mutuamente.
Vamos chamar sigmaaçoç a tensão no aço e sigmaconcreto a tensão no concreto. Usamos a relação:
epsilonaço + sigmaaçoEaço = epsilonconcreto + sigmaconcretoEconcreto = 0 ççç
Assumindo que os módulos de elasticidade são Eaçoç e Econcreto, e rearranjando, temos um sistema de equações que podemos resolver para encontrar sigmaaçoç e sigmaconcreto.

Passo 4

Para resolver o sistema, consideramos que a soma das tensões ponderadas pelos módulos de elasticidade deve ser zero, já que a deformação total é nula:
Eaço sigmaaço = Econcreto sigmaconcreto çç
Isso nos dá uma relação entre as tensões nos dois materiais:
sigmaconcreto = EaçoEconcreto sigmaaço çç

Passo 5

Substituímos essa relação na equação da deformação total:
epsilonaço + sigmaaçoEaço = 0 ççç
-5,85 times 10^-4 + sigmaaçoEaço = 0 çç
Resolvendo para sigmaaçoç:
sigmaaço = 5,85 times 10^-4 times Eaço çç

Passo 6

Agora, precisamos dos valores dos módulos de elasticidade. Vamos usar valores típicos:
Eaço = 29 times 10^6 , psi ç
Econcreto = 4 times 10^6 , psi
Substituindo na equação para sigmaaçoç:
sigmaaço = 5,85 times 10^-4 times 29 times 10^6 = 16.965 , psi ç

Passo 7

Agora, usando a relação entre as tensões:
sigmaconcreto = 29 times 10^64 times 10^6 times 16.965 = 294 times 16.965 approx 122,3 , psi

Resposta

As tensões provocadas pela redução de temperatura de 90^circ F são aproximadamente 16.965 , psi no aço e 122,3 , psi no concreto.

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