Uma barra prismática de comprimento longitudinal L=5,0 m está pendurada verticalmente e sujeita à ação de seu peso próprio. Calcule a maior tensão normal se for de:
a) Aço. Dado: gamma=78480 N / m^3
b) Alumínio. Dado: gamma=26487 N / m^3
Resposta: a) sigma=0,39 MPa; b) sigma=0,13 MPa

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma barra prismática de 5 metros de comprimento pendurada verticalmente e precisamos calcular a maior tensão normal que ela sofre devido ao próprio peso. Vamos usar conceitos de estática e tensão para isso. Para resolver, vamos precisar saber a densidade específica do material da barra (nitidamente fornecida no enunciado) e a fórmula que relaciona tensão, força e área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a tensão normal ( sigma = FA ) é basicamente a força que está atuando na barra dividida pela área da seção transversal dela. A fórmula para isso é:
Onde:
  • é a tensão normal,
  • é a força aplicadora,
  • é a área da seção transversal.

Passo 3

No caso dessa barra, a força que está atuando nela é o próprio peso da barra. Para encontrar essa força, usamos a fórmula do peso ( P = gamma times V ):
V = A times L
Mas como a barra é prismática, o volume ( ) dela pode ser calculado como:
Onde é o comprimento da barra.

Passo 4

Substituindo o volume na fórmula do peso, temos:
P = gamma times A times L
Agora, voltando à fórmula da tensão:
sigma = PA = gamma times A times LA
A área da seção transversal ( sigma = gamma times L ) se cancela:

Passo 5

Então, a tensão normal é simplesmente o produto da densidade específica ( sigma = 78480 , N/m^3 times 5,0 , m = 392400 , N/m^2 ) pelo comprimento da barra ( 392400 , N/m^2 = 0,3924 , MPa approx 0,39 , MPa ). Agora, vamos calcular para cada material:

a) Aço

Dados:
  • sigma = 26487 , N/m^3 times 5,0 , m = 132435 , N/m^2
  • 132435 , N/m^2 = 0,132435 , MPa approx 0,13 , MPa
Aplicando a fórmula:
Convertendo para megapascais (MPa):

b) Alumínio

Dados:
Aplicando a fórmula:
Convertendo para megapascais (MPa):

Resposta

a) ;
b)

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