Uma barra quadrada de alumínio com 2 m de comprimento não deve se alongar mais que 1 mm , assim como a tensão normal atuante não deve exceder 40 MPa , quando a peça está submetida a uma força axial de 5 kN . Sabendo que o módulo de elasticidade longitudinal do alumínio é de 70 GPa , determine o lado L do quadrado que representa a seção da barra.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma barra quadrada de alumínio com 2 metros de comprimento que, quando submetida a uma força axial de 5 kN, não deve se alongar mais do que 1 mm. Além disso, a tensão normal (força por área) nessa barra não pode ultrapassar 40 MPa. Sabendo que o módulo de elasticidade longitudinal do alumínio é de 70 GPa, nosso objetivo é determinar o lado do quadrado que forma a seção transversal da barra.
Nesse problema, vamos precisar usar conceitos de tensão normal, deformação axial e módulo de elasticidade. Vamos resolver isso em etapas, garantindo que a barra atenda às duas restrições: alongamento máximo e tensão máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir as informações para fórmulas matemáticas. Temos duas restrições:
  1. Deformação axial máxima ( mm)
  2. Tensão normal máxima ( MPa)
Vamos usar as seguintes fórmulas:
  • Deformação axial:
  • Tensão normal:
Onde:
  • é a força axial (5 kN = 5000 N)
  • é o comprimento da barra (2 m)
  • é a área da seção transversal ( , já que a seção é quadrada)
  • é o módulo de elasticidade (70 GPa = Pa)
  • é a deformação axial
  • é a tensão normal

Passo 3

Vamos primeiro considerar a restrição da deformação axial. Queremos que de mm, ou seja:
F cdot LA cdot E <= 1 times 10^-3
Substituindo na fórmula da deformação axial:
A >= F cdot Lde
Queremos encontrar a área mínima A >= 5000 , N cdot 2 , m1 times 10^-3 , m cdot 70 times 10^9 , Pa que satisfaça essa desigualdade:
A >= 1000070 times 10^6 , m^2
Vamos calcular A >= 1000070 times 10^6 approx 1,4286 times 10^-4 , m^2 :

Passo 4

Agora, vamos considerar a restrição da tensão normal máxima. Queremos que FA <= 40 times 10^6 , Pa MPa, ou seja:
A >= Fsigma
Resolvendo para A >= 5000 , N40 times 10^6 , Pa :
A >= 500040 times 10^6 , m^2
Substituindo os valores:
A >= 1,25 times 10^-4 , m^2

Passo 5

Agora, temos duas áreas mínimas calculadas a partir das duas restrições:
  1. A partir da deformação axial: A >= 1,4286 times 10^-4 , m^2
  2. A partir da tensão normal:
Para garantir que ambas as condições sejam atendidas, devemos escolher a maior das duas áreas mínimas. Portanto:

Passo 6

Sabendo que a seção transversal é um quadrado, temos:
A = L^2
Então, para encontrar o lado L = raizA :
L >= raiz1,4286 times 10^-4 , m
Substituindo L >= 0,01195 , m approx 1,2 , cm :

Resposta

O lado do quadrado que representa a seção da barra deve ser, no mínimo, aproximadamente 1,2 cm para atender às restrições de deformação e tensão especificadas.

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