Uma barra quadrada de alumínio com 2 m de comprimento não deve se alongar mais que 1 mm , assim como a tensão normal atuante não deve exceder 40 MPa , quando a peça está submetida a uma força axial de 5 kN . Sabendo que o módulo de elasticidade longitudinal do alumínio é de 70 GPa , determine o lado L do quadrado que representa a seção da barra.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma barra quadrada de alumínio com 2 metros de comprimento que, quando submetida a uma força axial de 5 kN, não deve se alongar mais do que 1 mm. Além disso, a tensão normal (força por área) nessa barra não pode ultrapassar 40 MPa. Sabendo que o módulo de elasticidade longitudinal do alumínio é de 70 GPa, nosso objetivo é determinar o lado
do quadrado que forma a seção transversal da barra.
Nesse problema, vamos precisar usar conceitos de tensão normal, deformação axial e módulo de elasticidade. Vamos resolver isso em etapas, garantindo que a barra atenda às duas restrições: alongamento máximo e tensão máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir as informações para fórmulas matemáticas. Temos duas restrições:
- Deformação axial máxima (
mm) - Tensão normal máxima (
MPa)
Vamos usar as seguintes fórmulas:
- Deformação axial:
- Tensão normal:
Onde:
-
é a força axial (5 kN = 5000 N) -
é o comprimento da barra (2 m) -
é a área da seção transversal ( , já que a seção é quadrada) -
é o módulo de elasticidade (70 GPa = Pa) -
é a deformação axial -
é a tensão normal
Passo 3
Vamos primeiro considerar a restrição da deformação axial. Queremos que
mm, ou seja:
Substituindo na fórmula da deformação axial:
Queremos encontrar a área mínima
que satisfaça essa desigualdade:
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, vamos considerar a restrição da tensão normal máxima. Queremos que
MPa, ou seja:
Resolvendo para
:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, temos duas áreas mínimas calculadas a partir das duas restrições:
- A partir da deformação axial:
- A partir da tensão normal:
Para garantir que ambas as condições sejam atendidas, devemos escolher a maior das duas áreas mínimas. Portanto:
Passo 6
Sabendo que a seção transversal é um quadrado, temos:
Então, para encontrar o lado
:
Substituindo
:
Resposta
O lado
do quadrado que representa a seção da barra deve ser, no mínimo, aproximadamente 1,2 cm para atender às restrições de deformação e tensão especificadas.
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