Uma barra quadrada de alumínio com 2 m de comprimento não deve se alongar mais que 1 mm , assim como a tensão normal atuante não deve exceder 40 MPa , quando a peça está submetida a uma força axial de 5 kN . Sabendo que o módulo de elasticidade longitudinal do alumínio é de 70 GPa , determine o lado L do quadrado que representa a seção da barra.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma barra quadrada de alumínio com 2 metros de comprimento que, quando submetida a uma força axial de 5 kN, não deve se alongar mais do que 1 mm. Além disso, a tensão normal (força por área) nessa barra não pode ultrapassar 40 MPa. Sabendo que o módulo de elasticidade longitudinal do alumínio é de 70 GPa, nosso objetivo é determinar o lado do quadrado que forma a seção transversal da barra.
Nesse problema, vamos precisar usar conceitos de tensão normal, deformação axial e módulo de elasticidade. Vamos resolver isso em etapas, garantindo que a barra atenda às duas restrições: alongamento máximo e tensão máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir as informações para fórmulas matemáticas. Temos duas restrições:
  1. Deformação axial máxima ( mm)
  2. Tensão normal máxima ( MPa)
Vamos usar as seguintes fórmulas:
  • Deformação axial:
  • Tensão normal:
Onde:
  • é a força axial (5 kN = 5000 N)
  • é o comprimento da barra (2 m)
  • é a área da seção transversal ( , já que a seção é quadrada)
  • é o módulo de elasticidade (70 GPa = Pa)
  • é a deformação axial
  • é a tensão normal

Passo 3

Vamos primeiro considerar a restrição da deformação axial. Queremos que mm, ou seja:
Substituindo na fórmula da deformação axial:
Queremos encontrar a área mínima que satisfaça essa desigualdade:
Vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos considerar a restrição da tensão normal máxima. Queremos que MPa, ou seja:
Resolvendo para :
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, temos duas áreas mínimas calculadas a partir das duas restrições:
  1. A partir da deformação axial:
  2. A partir da tensão normal:
Para garantir que ambas as condições sejam atendidas, devemos escolher a maior das duas áreas mínimas. Portanto:

Passo 6

Sabendo que a seção transversal é um quadrado, temos:
Então, para encontrar o lado :
Substituindo :

Resposta

O lado do quadrado que representa a seção da barra deve ser, no mínimo, aproximadamente 1,2 cm para atender às restrições de deformação e tensão especificadas.

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