A barra rígida BDE é suspensa por duas hastes A B e C D. A haste A B é de alumínio e a C D de aço. No ponto é será aplicada uma carga F=63 kN.

Dados:

Módulo de Elasticidade Longitudinal do alumínio - E alum =69 GPa; Módulo de Elasticidade Longitudinal do aço -Eacc=198 GPa; Diâmetro da seção transversal do alumínio - datum =29,78 mm; Diâmetro da seção transversal do aço - d aço =33,18 mmç;
h1=0,33 m ; h2=0,7 m ; L1=0,48 m ; L2=0,8 m ; v=0,21
Determine para essas condições:
a) A deformação longitudinal da barra A B em mm;
b) A deformação específica da barra A B;
c) A deformação longitudinal da barra CD em mm;
d) A deformação específica da barra CD;
e) O deslocamento total do ponto E em mm;
f) A deformação específica da seção transversal da barra AB;
g) A deformação específica da seção transversal da barra CD.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma barra rígida chamada BDE que está suspensa por duas hastes: a haste AB feita de alumínio e a haste CD feita de aço. A carga F de 63 kN está sendo aplicada no ponto E. A gente vai trabalhar com conceitos de deformação axial e deformação específica em materiais. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da deformação axial:
de
Onde:
  • é a deformação longitudinal,
  • é a força aplicada,
  • é o comprimento da haste,
  • é a área da seção transversal,
  • é o módulo de elasticidade do material.
Vamos seguir passo a passo para resolver cada item da questão!

Passo 2

a) A deformação longitudinal da barra AB em mm
Primeiro, vamos calcular a deformação na haste AB. Para isso, precisamos identificar os valores:
  • Força na haste AB ( FAB cdot h1 = FCD cdot h2 ): Como a carga F está sendo dividida entre as duas hastes AB e CD, vamos precisar primeiro descobrir como essa força se divide. Como temos uma barra rígida, precisamos usar o equilíbrio de forças e momentos para encontrar FAB + FCD = F = 63 kN e FAB = F cdot h2h1 + h2 = 63 cdot 0,70,33 + 0,7 approx 63 cdot 0,71,03 approx 63 cdot 0,6796 approx 42,8 kN .
Vamos considerar que a barra BDE está em equilíbrio. Então, a soma das forças verticais deve ser zero.
Nos dados, temos:
  • AAB = pi cdot dalum^24 = pi cdot (29,78)^24 approx 3,1416 cdot 887,284 approx 2790,54 approx 697,6 mm^2 m
  • de m
Usando a condição de equilíbrio de momentos em E:
de
E sabemos que:
Vamos resolver essas equações para encontrar :
Agora, precisamos calcular a área da seção transversal da haste AB. O diâmetro é dado como 29,78 mm, então:
Agora, usando a fórmula da deformação:
Precisamos converter todas as unidades para serem consistentes. Vamos deixar tudo em mm e N:
Agora, substituindo:

Passo 3

b) A deformação específica da barra AB
A deformação específica é basicamente a deformação por unidade de comprimento, também conhecida como tensão normal. A fórmula para a deformação específica ( varepsilon = de) é:
varepsilonAB = 0,428480 approx 0,00089 mm/mm
Temos:
Então:

Passo 4

c) A deformação longitudinal da barra CD em mm
Agora, vamos calcular a deformação na haste CD. Primeiro, precisamos encontrar a força nessa haste ( FCD = F - FAB = 63 - 42,8 = 20,2 kN = 20200 N ).
Sabemos que:
ACD = pi cdot daço^24 = pi cdot (33,18)^24 approx 3,1416 cdot 1099,894 approx 3453,74 approx 863,4 mm^2
Agora, vamos calcular a área da seção transversal da haste CD. O diâmetro é 33,18 mm:
deç
Usando a fórmula da deformação:
de
Convertendo as unidades:
Substituindo:

Passo 5

d) A deformação específica da barra CD
Assim como na haste AB, a deformação específica é:
varepsilon = de
Temos:
  • varepsilonCD = 0,0945800 approx 0,000118 mm/mm
Então:

Passo 6

e) O deslocamento total do ponto E em mm
O deslocamento total do ponto E é a soma das deformações das hastes AB e CD, considerando suas respectivas direções. Como ambas as hastes estão em direções diferentes (AB em uma direção e CD em outra), precisamos considerar o deslocamento vertical resultante.
Vamos supor que as deformações das hastes resultem em um deslocamento vertical no ponto E dado pela soma das deformações longitudinais multiplicadas pelas geometrias das hastes.
Mas, para simplificar, considerando que estamos procurando o deslocamento total horizontal (o que é mais comum nesse tipo de problema), o deslocamento total é a soma das deformações das duas hastes:
de

Passo 7

f) A deformação específica da seção transversal da barra AB
A deformação específica na seção transversal geralmente se refere à variação na área ou a deformação lateral, mas no contexto da deformação axial, pode entender-se como a relação entre a variação de área e a área original.
A fórmula é:
varepsilontrans = -2 nu varepsilon
Onde varepsilontransAB = -2 times 0,21 times 0,00089 approx -0,000376 mm/mm é o coeficiente de Poisson.
Dado que :

Passo 8

g) A deformação específica da seção transversal da barra CD
Aplicando a mesma fórmula para a barra CD:
varepsilontransCD = -2 times 0,21 times varepsilonCD = -2 times 0,21 times 0,000118 approx -0,0000497 mm/mm

Resposta

a) A deformação longitudinal da barra AB é aproximadamente 0,428 mm.
b) A deformação específica da barra AB é aproximadamente 0,00089 mm/mm.
c) A deformação longitudinal da barra CD é aproximadamente 0,0945 mm.
d) A deformação específica da barra CD é aproximadamente 0,000118 mm/mm.
e) O deslocamento total do ponto E é aproximadamente 0,5225 mm.
f) A deformação específica da seção transversal da barra AB é aproximadamente -0,000376 mm/mm.
g) A deformação específica da seção transversal da barra CD é aproximadamente -0,0000497 mm/mm.

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