Uma barra rígida de massa m por unidade de comprimento suporta em sua extremidade uma massa
presa de forma rígida. Encontre a equação diferencial para a translação do ponto A e rotação em tomo de A.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma barra rígida com massa por unidade de comprimento igual a
. Nessa barra, na sua extremidade, está presa uma massa
de forma rígida. Nosso objetivo é encontrar a equação diferencial que descreve tanto a translação (movimento para frente e para trás) do ponto A quanto a rotação dessa barra em torno de A.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica, como as leis de Newton para o movimento e o momento de inércia para a rotação. Vamos também aplicar um pouco de cálculo para montar a equação diferencial que descreve o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na translação do ponto A. A translação está relacionada ao movimento linear da barra e da massa
. Para isso, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que nos diz que a força resultante é igual à massa total vezes a aceleração.
A força total neste caso será a força exercida pela massa
e a massa da própria barra. A massa total do sistema é a soma da massa da barra e da massa
.
Passo 3
Vamos calcular a massa total. A barra tem massa por unidade de comprimento
e, supondo que o comprimento da barra seja
, a massa da barra é
. Então, a massa total
é:
Passo 4
Agora, aplicando a segunda lei de Newton para a translação, temos:
Onde
é a força resultante no sistema e
é a aceleração do ponto A.
Passo 5
Para a rotação em torno do ponto A, vamos usar a segunda lei de Newton para rotação, que envolve o momento de inércia e o torque resultante.
O torque resultante
é igual ao momento de inércia
vezes a aceleração angular
:
Passo 6
Vamos calcular o momento de inércia
do sistema em relação ao ponto A. O momento de inércia para a barra rígida de comprimento
em relação a uma das extremidades (ponto A) é:
E para a massa
presa na extremidade, o momento de inércia é:
Então, o momento de inércia total
é:
Passo 7
Agora, precisamos relacionar a translação e a rotação. A aceleração linear
do ponto A está relacionada à aceleração angular
pela expressão:
Substituindo isso na equação da segunda lei de Newton para translação, temos:
Passo 8
Igualando as duas expressões para o torque, temos:
Substituindo
pela força resultante multiplicada pelo comprimento
:
Passo 9
Agora, substituímos
por
na equação acima:
Simplificando:
Passo 10
Finalmente, rearranjando a equação para obter a relação diferencial que descreve o movimento, temos:
Onde
é a posição do ponto A em função do tempo
.
Resposta
A equação diferencial que descreve tanto a translação do ponto A quanto a rotação em torno de A é:
Exercícios relacionados
Calcular a freqüência natural de oscilação do sistema amortecido para os parâmetros
in
in
e
in
. Determine o valor do amortecimento crítico.
Resp.
Resp.
A massa está inicialmente em repouso quando lhe damos uma velocidade de
. Achar o deslocamento subseqüente e a velocidade da massa. Dados:
-s/in,
e
.
Para calibrar um amortecedor, mediu-se a velocidade do êmbolo quando lhe era aplicada certa força. Considerando-se que um peso de
produziu uma velocidade constante de
, calcular o fator de amortecimento quando usado com o sistema abaixo.
Resp.
Resp.
Um peso de 10 lb , ligado à extremidade inferior de uma mola cuja extremidade superior é fixa, vibra com um período natural de
. Determinar o período natural quando um peso de 5 lb é ligado ao meio da mola, com ambas as extremidades fixas.