Uma barra rígida de massa m por unidade de comprimento suporta em sua extremidade uma massa presa de forma rígida. Encontre a equação diferencial para a translação do ponto A e rotação em tomo de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma barra rígida com massa por unidade de comprimento igual a . Nessa barra, na sua extremidade, está presa uma massa de forma rígida. Nosso objetivo é encontrar a equação diferencial que descreve tanto a translação (movimento para frente e para trás) do ponto A quanto a rotação dessa barra em torno de A.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica, como as leis de Newton para o movimento e o momento de inércia para a rotação. Vamos também aplicar um pouco de cálculo para montar a equação diferencial que descreve o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na translação do ponto A. A translação está relacionada ao movimento linear da barra e da massa . Para isso, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que nos diz que a força resultante é igual à massa total vezes a aceleração.
A força total neste caso será a força exercida pela massa e a massa da própria barra. A massa total do sistema é a soma da massa da barra e da massa .

Passo 3

Vamos calcular a massa total. A barra tem massa por unidade de comprimento e, supondo que o comprimento da barra seja , a massa da barra é . Então, a massa total é:

Passo 4

Agora, aplicando a segunda lei de Newton para a translação, temos:
Onde é a força resultante no sistema e é a aceleração do ponto A.

Passo 5

Para a rotação em torno do ponto A, vamos usar a segunda lei de Newton para rotação, que envolve o momento de inércia e o torque resultante.
O torque resultante é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular :

Passo 6

Vamos calcular o momento de inércia do sistema em relação ao ponto A. O momento de inércia para a barra rígida de comprimento em relação a uma das extremidades (ponto A) é:
E para a massa presa na extremidade, o momento de inércia é:
Então, o momento de inércia total é:

Passo 7

Agora, precisamos relacionar a translação e a rotação. A aceleração linear do ponto A está relacionada à aceleração angular pela expressão:
Substituindo isso na equação da segunda lei de Newton para translação, temos:

Passo 8

Igualando as duas expressões para o torque, temos:
Substituindo pela força resultante multiplicada pelo comprimento :

Passo 9

Agora, substituímos por na equação acima:
Simplificando:

Passo 10

Finalmente, rearranjando a equação para obter a relação diferencial que descreve o movimento, temos:
Onde é a posição do ponto A em função do tempo .

Resposta

A equação diferencial que descreve tanto a translação do ponto A quanto a rotação em torno de A é:

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