Um peso de 10 lb , ligado à extremidade inferior de uma mola cuja extremidade superior é fixa, vibra com um período natural de 0,45 s. Determinar o período natural quando um peso de 5 lb é ligado ao meio da mola, com ambas as extremidades fixas.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma mola com uma das extremidades fixa e um peso de 10 lb preso na outra extremidade, que vibra com um período natural de 0,45 segundos. Agora, queremos descobrir qual será o novo período natural quando mudarmos o peso para 5 lb e o fixarmos no meio da mola, mantendo ambas as extremidades presas. Vamos precisar usar conceitos de física relacionados a molas e períodos de vibração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do período natural T = 2pi raizmk de um sistema massa-mola:
T = 2pi raizWk cdot g
onde:
  • é a massa ligada à mola,
  • é a constante da mola,
  • é aproximadamente 3,1416.
Como o peso está relacionado à massa pela fórmula (onde é a aceleração da gravidade, aproximadamente 9,81 m/s²), podemos reescrever a fórmula do período em termos do peso:

Passo 3

No primeiro cenário, temos um peso de 10 lb e um período de 0,45 s. Podemos usar esses valores para encontrar a constante da mola 0,45 = 2pi raiz10k cdot g :
k = 10g ( 0,452pi )^2
Isolando 0,456,2832 approx 0,0716 , s :
k = 109,81 times (0,0716)^2 approx 109,81 times 0,00515 approx 100,0505 approx 198,02 , lb/ft
Vamos calcular :
Então:

Passo 4

No segundo cenário, o peso é de 5 lb e está fixado no meio da mola com ambas as extremidades presas. Isso significa que a mola efetivamente se comporta como duas molas em paralelo, cada uma com constante kef = k + k = 2k . A constante efetiva kef = 2 times 198,02 approx 396,04 , lb/ft para molas em paralelo é:
Então, a nova constante da mola será:

Passo 5

Agora, usamos a fórmula do período novamente com o novo peso de 5 lb e a nova constante T = 2pi raiz5396,04 times 9,81 :
396,04 times 9,81 approx 3889,38
Vamos calcular o denominador:
T = 2pi raiz53889,38 approx 2pi raiz0,001285 approx 2pi times 0,03583 approx 0,225 , s
Então:

Resposta

O período natural quando um peso de 5 lb é ligado ao meio da mola, com ambas as extremidades fixas, é aproximadamente 0,225 segundos.

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