Um peso de 10 lb , ligado à extremidade inferior de uma mola cuja extremidade superior é fixa, vibra com um período natural de . Determinar o período natural quando um peso de 5 lb é ligado ao meio da mola, com ambas as extremidades fixas.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma mola com uma das extremidades fixa e um peso de 10 lb preso na outra extremidade, que vibra com um período natural de 0,45 segundos. Agora, queremos descobrir qual será o novo período natural quando mudarmos o peso para 5 lb e o fixarmos no meio da mola, mantendo ambas as extremidades presas. Vamos precisar usar conceitos de física relacionados a molas e períodos de vibração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do período natural de um sistema massa-mola:
onde:
  • é a massa ligada à mola,
  • é a constante da mola,
  • é aproximadamente 3,1416.
Como o peso está relacionado à massa pela fórmula (onde é a aceleração da gravidade, aproximadamente 9,81 m/s²), podemos reescrever a fórmula do período em termos do peso:

Passo 3

No primeiro cenário, temos um peso de 10 lb e um período de 0,45 s. Podemos usar esses valores para encontrar a constante da mola :
Isolando :
Vamos calcular :
Então:

Passo 4

No segundo cenário, o peso é de 5 lb e está fixado no meio da mola com ambas as extremidades presas. Isso significa que a mola efetivamente se comporta como duas molas em paralelo, cada uma com constante . A constante efetiva para molas em paralelo é:
Então, a nova constante da mola será:

Passo 5

Agora, usamos a fórmula do período novamente com o novo peso de 5 lb e a nova constante :
Vamos calcular o denominador:
Então:

Resposta

O período natural quando um peso de 5 lb é ligado ao meio da mola, com ambas as extremidades fixas, é aproximadamente 0,225 segundos.

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