A massa está inicialmente em repouso quando lhe damos uma velocidade de 4 in / s. Achar o deslocamento subseqüente e a velocidade da massa. Dados: c= 0,85 lb-s/in, k=25 lb / in^-e m=40 lb.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de dinâmica envolvendo um sistema massa-mola-amortecedor. A gente precisa descobrir dois jeitos de movimentação da massa: o deslocamento (que mostra onde a massa está em relação à posição inicial) e a velocidade dela ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e propriedades de sistemas oscilatórios. Os dados que a gente tem são:
  • Massa ( m) = 40 lb
  • Amortecimento ( c) = 0,85 lb·s/in
  • Constante da mola ( k) = 25 lb/in
  • Velocidade inicial ( v0) = 4 in/s

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação que descreve o movimento da massa. Sabemos que para um sistema massa-mola-amortecedor, a equação diferencial é:
m cdot d^2xdt^2 + c cdot dxdt + k cdot x = 0
Aqui, x é o deslocamento da massa em função do tempo t.

Passo 3

Vamos substituir os valores que a gente tem na equação:
40 cdot d^2xdt^2 + 0,85 cdot dxdt + 25 cdot x = 0
Para simplificar, podemos dividir toda a equação por 40:
d^2xdt^2 + 0,8540 cdot dxdt + 2540 cdot x = 0
Ou seja:
d^2xdt^2 + 0,02125 cdot dxdt + 0,625 cdot x = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Ela é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral depende da natureza das raízes da equação característica. Vamos encontrar essa equação característica.
Assumindo uma solução da forma x(t) = e^rt, substituímos na equação e obtemos:
r^2 + 0,02125 cdot r + 0,625 = 0

Passo 5

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1, b = 0,02125, e c = 0,625.
Calculando o discriminante ( De):
De
Como o discriminante é negativo, temos raízes complexas. Isso indica que o sistema é subamortecido e a solução será oscilatória.

Passo 6

Com De, podemos escrever as raízes como:
r = alpha pm i beta
Onde:
alpha = -b2a = -0,021252 = -0,010625 beta = raiz-De

Passo 7

A solução geral para x(t) é então:
x(t) = e^alpha t ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) )
Substituindo alpha e beta:
x(t) = e^-0,010625 t ( C1 cos(0,7908 t) + C2 sin(0,7908 t) )

Passo 8

Agora, precisamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes C1 e C2. Sabemos que inicialmente a massa está em repouso, mas recebe uma velocidade inicial de 4 in/s. Portanto:
  • Quando t = 0, x(0) = 0
  • Quando t = 0, v(0) = x'(0) = 4 in/s
Aplicando x(0) = 0:
0 = e^0 ( C1 cdot 1 + C2 cdot 0 ) Rightarrow C1 = 0

Passo 9

Agora, calculamos a derivada de x(t) para encontrar v(t):
v(t) = dxdt = e^-0,010625 t ( -0,010625 C1 cos(0,7908 t) - 0,7908 C1 sin(0,7908 t) + 0,7908 C2 cos(0,7908 t) - 0,010625 C2 sin(0,7908 t) )
Como C1 = 0, simplificamos:
v(t) = e^-0,010625 t ( 0,7908 C2 cos(0,7908 t) - 0,010625 C2 sin(0,7908 t) )
Aplicando v(0) = 4:
4 = e^0 ( 0,7908 C2 cdot 1 - 0,010625 C2 cdot 0 ) Rightarrow 0,7908 C2 = 4 Rightarrow C2 approx 40,7908 approx 5,06

Passo 10

Agora, substituímos C1 = 0 e C2 approx 5,06 na expressão de x(t):
x(t) = e^-0,010625 t ( 0 cdot cos(0,7908 t) + 5,06 cdot sin(0,7908 t) ) = 5,06 , e^-0,010625 t sin(0,7908 t)
E para v(t):
v(t) = e^-0,010625 t ( 0,7908 cdot 5,06 cos(0,7908 t) - 0,010625 cdot 5,06 sin(0,7908 t) )
Calculando os coeficientes:
0,7908 cdot 5,06 approx 4 0,010625 cdot 5,06 approx 0,054
Portanto:
v(t) approx 4 , e^-0,010625 t cos(0,7908 t) - 0,054 , e^-0,010625 t sin(0,7908 t)

Resposta

O deslocamento da massa em função do tempo é dado por:
x(t) approx 5,06 , e^-0,010625 t sin(0,7908 t)
E a velocidade da massa em função do tempo é aproximadamente:
v(t) approx 4 , e^-0,010625 t cos(0,7908 t) - 0,054 , e^-0,010625 t sin(0,7908 t)

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