A massa está inicialmente em repouso quando lhe damos uma velocidade de . Achar o deslocamento subseqüente e a velocidade da massa. Dados: -s/in, e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de dinâmica envolvendo um sistema massa-mola-amortecedor. A gente precisa descobrir dois jeitos de movimentação da massa: o deslocamento (que mostra onde a massa está em relação à posição inicial) e a velocidade dela ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e propriedades de sistemas oscilatórios. Os dados que a gente tem são:
  • Massa ( ) = 40 lb
  • Amortecimento ( ) = 0,85 lb·s/in
  • Constante da mola ( ) = 25 lb/in
  • Velocidade inicial ( ) = 4 in/s

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação que descreve o movimento da massa. Sabemos que para um sistema massa-mola-amortecedor, a equação diferencial é:
Aqui, é o deslocamento da massa em função do tempo .

Passo 3

Vamos substituir os valores que a gente tem na equação:
Para simplificar, podemos dividir toda a equação por 40:
Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Ela é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral depende da natureza das raízes da equação característica. Vamos encontrar essa equação característica.
Assumindo uma solução da forma , substituímos na equação e obtemos:

Passo 5

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .
Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo, temos raízes complexas. Isso indica que o sistema é subamortecido e a solução será oscilatória.

Passo 6

Com , podemos escrever as raízes como:
Onde:

Passo 7

A solução geral para é então:
Substituindo e :

Passo 8

Agora, precisamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes e . Sabemos que inicialmente a massa está em repouso, mas recebe uma velocidade inicial de in/s. Portanto:
  • Quando ,
  • Quando , in/s
Aplicando :

Passo 9

Agora, calculamos a derivada de para encontrar :
Como , simplificamos:
Aplicando :

Passo 10

Agora, substituímos e na expressão de :
E para :
Calculando os coeficientes:
Portanto:

Resposta

O deslocamento da massa em função do tempo é dado por:
E a velocidade da massa em função do tempo é aproximadamente:

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Resp.
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Resp.
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