A massa está inicialmente em repouso quando lhe damos uma velocidade de
. Achar o deslocamento subseqüente e a velocidade da massa. Dados:
-s/in,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de dinâmica envolvendo um sistema massa-mola-amortecedor. A gente precisa descobrir dois jeitos de movimentação da massa: o deslocamento (que mostra onde a massa está em relação à posição inicial) e a velocidade dela ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e propriedades de sistemas oscilatórios. Os dados que a gente tem são:
- Massa (
) = 40 lb - Amortecimento (
) = 0,85 lb·s/in - Constante da mola (
) = 25 lb/in - Velocidade inicial (
) = 4 in/s
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação que descreve o movimento da massa. Sabemos que para um sistema massa-mola-amortecedor, a equação diferencial é:
Aqui,
é o deslocamento da massa em função do tempo
.
Passo 3
Vamos substituir os valores que a gente tem na equação:
Para simplificar, podemos dividir toda a equação por 40:
Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Ela é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral depende da natureza das raízes da equação característica. Vamos encontrar essa equação característica.
Assumindo uma solução da forma
, substituímos na equação e obtemos:
Passo 5
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é negativo, temos raízes complexas. Isso indica que o sistema é subamortecido e a solução será oscilatória.
Passo 6
Com
, podemos escrever as raízes como:
Onde:
Passo 7
A solução geral para
é então:
Substituindo
e
:
Passo 8
Agora, precisamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes
e
. Sabemos que inicialmente a massa está em repouso, mas recebe uma velocidade inicial de
in/s. Portanto:
- Quando
, - Quando
, in/s
Aplicando
:
Passo 9
Agora, calculamos a derivada de
para encontrar
:
Como
, simplificamos:
Aplicando
:
Passo 10
Agora, substituímos
e
na expressão de
:
E para
:
Calculando os coeficientes:
Portanto:
Resposta
O deslocamento da massa em função do tempo é dado por:
E a velocidade da massa em função do tempo é aproximadamente: