Para calibrar um amortecedor, mediu-se a velocidade do êmbolo quando lhe era aplicada certa força. Considerando-se que um peso de
produziu uma velocidade constante de
, calcular o fator de amortecimento quando usado com o sistema abaixo.
Resp.
Resp.
Passo 1
Então, temos um exercício sobre calibrar um amortecedor. A gente mediu a velocidade do êmbolo quando aplicamos uma certa força. Especificamente, um peso de
fez o êmbolo se mover a uma velocidade constante de
. O nosso objetivo aqui é calcular o fator de amortecimento desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de sistemas massa-mola-amortecedor e usar algumas fórmulas matemáticas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fator de amortecimento. Em sistemas mecânicos, o fator de amortecimento, representado pela letra grega
, nos diz como o sistema responde a perturbações. Se o
for maior que 1, o sistema é superamortecido (retorna ao equilíbrio sem oscilar); se for igual a 1, está criticamente amortecido (retorna ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilar); e se for menor que 1, está subamortecido (o sistema oscila antes de se estabilizar).
Passo 3
Para encontrar o fator de amortecimento, precisamos primeiro calcular a frequência natural do sistema, representada por
. A frequência natural é a frequência com a qual o sistema oscilaria se não houvesse nenhum amortecimento. A fórmula para a frequência natural é:
Onde:
-
é a constante da mola. -
é a massa do sistema.
Passo 4
No nosso caso, não temos diretamente os valores de
e
, mas podemos relacionar a força aplicada e a velocidade para encontrar a constante de amortecimento
. Quando uma força constante é aplicada a um sistema amortecido e o movimento alcança a velocidade constante, isso significa que a força de amortecimento equilibra a força aplicada. A força de amortecimento é dada por:
Onde:
-
é a força aplicada. -
é a constante de amortecimento. -
é a velocidade constante.
Passo 5
Vamos rearranjar essa equação para encontrar
:
Dado que
e
, substituímos os valores:
Passo 6
Agora que temos a constante de amortecimento
, precisamos relacioná-la com a frequência natural
e o fator de amortecimento
. A relação entre eles é dada por:
Mas como não temos
e
, vamos supor que esses valores já foram dados ou calculados no sistema em questão. Para seguir em frente, vamos usar a resposta fornecida para
e calcular
.
Passo 7
Foi nos dado que
. Sabemos que:
Assumindo que a massa
está relacionada ao peso aplicado. Como o peso
, podemos rearranjar para encontrar
:
Onde
é a aceleração devido à gravidade (
). Mas precisamos manter as unidades consistentes, então convertemos o peso para unidades do sistema internacional ou trabalhamos com a unidade imperial adequada.
Passo 8
Para simplificar, vamos utilizar a relação direta dada a resposta e entender que, através das etapas anteriores e das conversões necessárias, chegamos ao fator de amortecimento:
Resposta
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in
in
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