A barra rígida B D E é suspensa por duas barras A B e C D. A barra A B é feita de alumínio (E=70 GPa) e tem uma área transversal de 500 mm^2; A barra C D é feita de aço (E=200 GPa) e tem uma área transversal de 600 mm^2. Para a força de 30 kN mostrada, determinar os deslocamentos dos pontos a) B, b) D e c) E.

Passo 1

Ok, vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos uma barra rígida de que está suspensa por duas barras, e . A barra é feita de alumínio com módulo de elasticidade e área transversal de . Já a barra é feita de aço com módulo de elasticidade e área transversal de . Uma força de está atuando nesse sistema, e precisamos determinar os deslocamentos nos pontos , e .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de deformação de barras sob carga axial. A fórmula principal que vamos utilizar é:
onde:
  • é o deslocamento,
  • é a força aplicada,
  • é o comprimento da barra,
  • é o módulo de elasticidade,
  • é a área da seção transversal.
Vamos precisar calcular como a força de se distribui nas barras e e então calcular os deslocamentos correspondentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a força de FAB + FCD = 30 , kN se distribui entre as barras k = E cdot AL e FABFCD = kCDkAB = ECD cdot ACDLEAB cdot AABL = ECD cdot ACDEAB cdot AAB .
Assumindo que a barra rígida FABFCD = 200 times 60070 times 500 = 12000035000 approx 3,4286 está em equilíbrio, a soma das forças nas barras e deve ser igual à força aplicada:
Além disso, a distribuição das forças depende da rigidez de cada barra, que é influenciada pelo módulo de elasticidade e pela área da seção transversal. A rigidez de cada barra pode ser definida como:
Como não temos os comprimentos das barras, vamos assumir que eles são iguais ou que os comprimentos cancelam na relação de distribuição das forças. Assim, a relação das forças fica inversamente proporcional às rigidezes das barras.
Portanto:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, usando a relação 3,4286x + x = 30 , kN 4,4286x = 30 , kN x = 304,4286 approx 6,78 , kN e FCD approx 6,78 , kN FAB = 30 - 6,78 approx 23,22 , kN , podemos resolver para .
Vamos chamar . Então:
Portanto:

Passo 4

Com as forças nas barras conhecidas, vamos calcular o deslocamento em cada uma.
A fórmula para deslocamento é:
de
Vamos assumir que o comprimento de das barras de e é o mesmo e igual a . Como estamos interessados em identificar as relações de deslocamento, o valor exato de não é necessário para a comparação, mas vamos expressar os deslocamentos em termos de .
Primeiro, para a barra :
Para a barra :

Passo 5

Agora, vamos interpretar os resultados:
  • O deslocamento no ponto é aproximadamente .
  • O deslocamento no ponto é aproximadamente .
Como a barra é rígida, os deslocamentos nos pontos , e serão os mesmos, pois estão todos conectados rigidamente. Portanto, o deslocamento em também será .

Resposta

a) Deslocamento em :
b) Deslocamento em :
c) Deslocamento em :
Onde é o comprimento das barras e .

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