Um círculo de diâmetro
é desenhado em uma placa de alumínio livre de tensões e de espessura
. Forças que atuam posteriormente no plano da placa provocam tensões normais
e
. Para
, determine a variação:
a) do comprimento do diâmetro
b) do comprimento do diâmetro
c) da espessura da placa
d) do volume da placa.
a) do comprimento do diâmetro
b) do comprimento do diâmetro
c) da espessura da placa
d) do volume da placa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma placa circular de alumínio com diâmetro de
e espessura de
. Nessa placa, estão atuando forças que causam tensões normais de
e
. A matéria que vamos usar aqui é a mecânica dos materiais, especificamente as relações entre tensão e deformação usando a Lei de Hooke para materiais isotrópicos. Para resolver, vamos precisar da fórmula que relaciona essas tensões com as deformações e, a partir daí, calcular as variações nos comprimentos dos diâmetros, na espessura da placa e no volume total dela.
Passo 2
Vamos começar resolvendo cada parte do exercício passo a passo:
a) Variação do comprimento do diâmetro
-
Entendendo o que é a variação de comprimento: A variação no comprimento (
) é a mudança que ocorre no tamanho original ( ) devido à aplicação de uma força ou tensão. -
Aplicando a Lei de Hooke na direção
: A deformação ( ) na direção é dada por: Onde: -
-
Calculando a deformação na direção
: -
Calculando a variação no comprimento do diâmetro
:
b) Variação do comprimento do diâmetro
-
Aplicando a Lei de Hooke na direção
: A deformação ( ) na direção é: -
Calculando a deformação na direção
: -
Calculando a variação no comprimento do diâmetro
:
c) Variação da espessura da placa
-
Considerando a direção
(espessura): Como não há tensão aplicada na direção ( ), a deformação nessa direção é: -
Calculando a deformação na direção
: -
Calculando a variação na espessura
: (O sinal negativo indica uma contração na espessura.)
d) Variação do volume da placa
-
Volume original da placa:
-
Calculando o novo comprimento dos diâmetros e da espessura:
-
Calculando o novo volume:(Para simplificar, considerando pequenas deformações, o volume varia aproximadamente por:
Resposta
a) A variação no comprimento do diâmetro
é de aproximadamente
.
b) A variação no comprimento do diâmetro
é de aproximadamente
.
c) A variação na espessura da placa é uma contração de aproximadamente
.
d) A variação no volume da placa é de aproximadamente
.