Um círculo de diâmetro d=220 mm é desenhado em uma placa de alumínio livre de tensões e de espessura t=19 mm. Forças que atuam posteriormente no plano da placa provocam tensões normais sigmax=82 MPa e sigmaz=138 MPa. Para E=69 GPa e^v=13, determine a variação:
a) do comprimento do diâmetro A B
b) do comprimento do diâmetro C D
c) da espessura da placa
d) do volume da placa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma placa circular de alumínio com diâmetro de 220,mm e espessura de 19,mm. Nessa placa, estão atuando forças que causam tensões normais de sigmax=82,MPa e sigmaz=138,MPa. A matéria que vamos usar aqui é a mecânica dos materiais, especificamente as relações entre tensão e deformação usando a Lei de Hooke para materiais isotrópicos. Para resolver, vamos precisar da fórmula que relaciona essas tensões com as deformações e, a partir daí, calcular as variações nos comprimentos dos diâmetros, na espessura da placa e no volume total dela.

Passo 2

Vamos começar resolvendo cada parte do exercício passo a passo:
a) Variação do comprimento do diâmetro AB
  1. Entendendo o que é a variação de comprimento: A variação no comprimento ( De) é a mudança que ocorre no tamanho original ( L) devido à aplicação de uma força ou tensão.
  2. Aplicando a Lei de Hooke na direção x: A deformação ( varepsilonx) na direção x é dada por:
    varepsilonx = sigmax - v sigmazE
    Onde:
    • sigmax = 82,MPa
    • sigmaz = 138,MPa
    • v = 13
    • E = 69,GPa = 69000,MPa
  3. Calculando a deformação na direção x:
    varepsilonx = 82 - 13 times 13869000 = 82 - 4669000 = 3669000 approx 0,0005217
  4. Calculando a variação no comprimento do diâmetro AB:
    De
b) Variação do comprimento do diâmetro CD
  1. Aplicando a Lei de Hooke na direção z: A deformação ( varepsilonz) na direção z é:
    varepsilonz = sigmaz - v sigmaxE
  2. Calculando a deformação na direção z:
    varepsilonz = 138 - 13 times 8269000 = 138 - 27,3369000 = 110,6769000 approx 0,001604
  3. Calculando a variação no comprimento do diâmetro CD:
    De
c) Variação da espessura da placa
  1. Considerando a direção y (espessura): Como não há tensão aplicada na direção y ( sigmay = 0), a deformação nessa direção é:
    varepsilony = -v (sigmax + sigmaz)E
  2. Calculando a deformação na direção y:
    varepsilony = -13 (82 + 138)69000 = -13 times 22069000 = -73,3369000 approx -0,001063
  3. Calculando a variação na espessura t:
    De
    (O sinal negativo indica uma contração na espessura.)
d) Variação do volume da placa
  1. Volume original da placa:
    V = AB times CD times t = 220,mm times 220,mm times 19,mm = 916000,mm^3
  2. Calculando o novo comprimento dos diâmetros e da espessura:
    ABnovo = AB + De
    CDnovo = CD + De
    tnovo = t + De
  3. Calculando o novo volume:
    Vnovo = ABnovo times CDnovo times tnovo approx 220,1148 times 220,3529 times 18,9798 approx 916000, mm^3 times (1 + varepsilonx + varepsilonz + varepsilony)
    (Para simplificar, considerando pequenas deformações, o volume varia aproximadamente por:
    De

Resposta

a) A variação no comprimento do diâmetro AB é de aproximadamente 0,115,mm.
b) A variação no comprimento do diâmetro CD é de aproximadamente 0,353,mm.
c) A variação na espessura da placa é uma contração de aproximadamente 0,020,mm.
d) A variação no volume da placa é de aproximadamente 974,5,mm^3.

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