Um círculo de diâmetro é desenhado em uma placa de alumínio livre de tensões e de espessura . Forças que atuam posteriormente no plano da placa provocam tensões normais e . Para , determine a variação:
a) do comprimento do diâmetro
b) do comprimento do diâmetro
c) da espessura da placa
d) do volume da placa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma placa circular de alumínio com diâmetro de e espessura de . Nessa placa, estão atuando forças que causam tensões normais de e . A matéria que vamos usar aqui é a mecânica dos materiais, especificamente as relações entre tensão e deformação usando a Lei de Hooke para materiais isotrópicos. Para resolver, vamos precisar da fórmula que relaciona essas tensões com as deformações e, a partir daí, calcular as variações nos comprimentos dos diâmetros, na espessura da placa e no volume total dela.

Passo 2

Vamos começar resolvendo cada parte do exercício passo a passo:
a) Variação do comprimento do diâmetro
  1. Entendendo o que é a variação de comprimento: A variação no comprimento ( ) é a mudança que ocorre no tamanho original ( ) devido à aplicação de uma força ou tensão.
  2. Aplicando a Lei de Hooke na direção : A deformação ( ) na direção é dada por:
    Onde:
  3. Calculando a deformação na direção :
  4. Calculando a variação no comprimento do diâmetro :
b) Variação do comprimento do diâmetro
  1. Aplicando a Lei de Hooke na direção : A deformação ( ) na direção é:
  2. Calculando a deformação na direção :
  3. Calculando a variação no comprimento do diâmetro :
c) Variação da espessura da placa
  1. Considerando a direção (espessura): Como não há tensão aplicada na direção ( ), a deformação nessa direção é:
  2. Calculando a deformação na direção :
  3. Calculando a variação na espessura :
    (O sinal negativo indica uma contração na espessura.)
d) Variação do volume da placa
  1. Volume original da placa:
  2. Calculando o novo comprimento dos diâmetros e da espessura:
  3. Calculando o novo volume:
    (Para simplificar, considerando pequenas deformações, o volume varia aproximadamente por:

Resposta

a) A variação no comprimento do diâmetro é de aproximadamente .
b) A variação no comprimento do diâmetro é de aproximadamente .
c) A variação na espessura da placa é uma contração de aproximadamente .
d) A variação no volume da placa é de aproximadamente .

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(e) o limite de escoamento (deslocamento de ).
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