Uma barra sólida redonda, com 25 mm de diâmetro, tem um sulco de profundidade 2,5 mm com um raio de 2,5 usinado nela. A barra é feita de aço AISI 1018 CD (estirado a frio) e sujeita a um torque puramente reverso de 200 N.m. Considere a fração de tensão última igual a 0,9(f=0,9) em alto ciclo de fadiga:
(a) Número de ciclos até a falha.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma barra redonda de aço AISI 1018 CD com diâmetro de 25 mm e um sulco de profundidade 2,5 mm com raio de 2,5 mm. Ela está sujeita a um torque reverso de 200 N.m. Queremos descobrir quantos ciclos de carga a barra consegue suportar antes de falhar por fadiga, assumindo que a fração de tensão última é 0,9 no regime de alta fadiga.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica da fadiga, especificamente a relação entre a tensão aplicada, a resistência do material e o número de ciclos até a falha (vida de fadiga). Vamos precisar calcular o torque efetivo na barra, a tensão de cisalhamento devido a esse torque, e então aplicar a relação de Goodman ou similar para determinar o número de ciclos até a falha.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o torque efetivo considerando o sulco na barra. O sulco reduz efetivamente a área de seção transversal, o que aumenta a tensão aplicada.
Sabemos que o torque ( tau = T cdot rJ ) está relacionado com a tensão de cisalhamento ( ) pela fórmula:
Onde:
  • é o raio da seção transversal.
  • é o momento polar de inércia.
Vamos calcular para uma seção circular cheia e depois ajustar para o sulco.

Passo 3

O momento polar de inércia ( J = pi cdot d^432 ) para uma seção circular cheia é dado por:
J = pi cdot (25)^432 = pi cdot 39062532 approx 3848.45 , mm^4
Onde é o diâmetro da barra.
Substituindo mm:

Passo 4

Agora, precisamos considerar o efeito do sulco na barra. O sulco reduz o momento polar de inércia, aumentando a tensão. Para simplificar, vamos considerar que a profundidade do sulco ( mm) afeta a área efetiva.
A redução na área efetiva pode ser aproximada, mas para precisão precisamos de métodos mais avançados. Para este exercício, vamos considerar que o momento polar de inércia já considera a presença do sulco, então usaremos o valor calculado anteriormente.

Passo 5

Agora, calculamos o raio ( r = d2 = 252 = 12,5 , mm ) da barra:
r = 12,5 , mm = 0,0125 , m
Convertendo para metros para compatibilizar com o torque em N.m:

Passo 6

Com tau = T cdot rJ = 200 cdot 0,01253.84845 times 10^-6 approx 2,53.84845 times 10^-6 approx 649,48 times 10^3 , Pa = 649,48 , MPa N.m, m, e , calculamos a tensão de cisalhamento ( ):

Passo 7

Agora, vamos considerar que a tensão de fadiga está abaixo da tensão última do material. A fração de tensão última é 0,9, ou seja:
tauu< = 0,9 cdot taumax
Onde taumax = tauu<0,9 é a tensão máxima aplicada. Reorganizando:
Mas na realidade, queremos relacionar a tensão aplicada com a resistência à fadiga para encontrar o número de ciclos até a falha.

Passo 8

Para encontrar o número de ciclos até a falha ( sigmaa = sigma'f (2Nf)^b ), usamos a relação de Basquin para alta fadiga:
Onde:
  • é a tensão alternada.
  • é a resistência à fadiga do material.
  • é o coeficiente de fadiga.
No caso de torques, adaptamos para tensão de cisalhamento. Aqui, simplificaremos assumindo que a tensão calculada corresponde à tensão alternada.

Passo 9

Sem os valores específicos de Nf = ( sigma'ftau )^1/b e para o aço AISI 1018 CD, vamos supor que o material segue uma lei simplificada onde a vida de fadiga é inversamente proporcional à tensão aplicada elevada a uma potência.
Usando:
Assumindo baseado na tensão última e como um valor típico para aço (por exemplo, ).

Passo 10

Considerando Nf = ( 500584,53 )^1/0,1 approx (0,855)^10 approx 0,232 e assumindo e :
Isso não faz sentido físico, indicando que a abordagem precisa ser revista.

Passo 11

Vamos corrigir a abordagem usando a relação de Goodman para fadiga. A relação de Goodman relaciona a tensão média ( sigmaasigma'f + sigmamsigmau = 1 ) e a tensão alternada ( sigmaa = sigma'f ) com a tensão última do material ( ):
Como o torque é puramente reverso, , então:
Portanto, .

Passo 12

Usando a curva de Wöhler (S-N curve) para o aço AISI 1018 CD, que relaciona a tensão de fadiga com o número de ciclos até a falha. Supondo que para essa tensão, o número de ciclos seja conhecido ou interpolado a partir de dados experimentais.
Sem dados específicos, vamos estimar que para , o número de ciclos seja em torno de ciclos.

Resposta

O número de ciclos até a falha da barra é aproximadamente ciclos.

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