Uma barra uniforme de comprimento L=10 m e massa total M=8 kg está disposta ao longo do eixo x, com uma extremidade na origem (x=0) e a outra em x=L. Qual é a posição do centro de massa da barra?

Passo 1

Vamos resolver um problema sobre o centro de massa de uma barra uniforme. Temos uma barra com comprimento L = 10, m e massa total M = 8, kg, posicionada ao longo do eixo x, com uma extremidade na origem (x=0) e a outra em x = L. Para encontrar a posição do centro de massa, vamos usar conceitos de física sobre distribuição de massa e cálculo de centro de massa.

Passo 2

Primeiro, como a barra é uniforme, a massa está distribuída de forma constante ao longo do seu comprimento. Isso significa que a densidade linear de massa, que chamamos de lambda, é igual à massa total dividida pelo comprimento:
lambda = ML = 8, kg10, m = 0,8, kg/m

Passo 3

O centro de massa ( xcm) de um objeto contínuo é calculado pela fórmula:
xcm = 1M integral0^L x , dm
Onde dm é um elemento de massa localizado em uma posição x.

Passo 4

Como lambda = dmdx, podemos substituir dm por lambda dx na integral:
xcm = 1M integral0^L x , lambda , dx
Substituindo lambda = 0,8, kg/m:
xcm = 18 integral0^10 0,8x , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral0^10 0,8x , dx = 0,8 integral0^10 x , dx = 0,8 [ x^22 ]0^10 = 0,8 ( 1002 - 0 ) = 0,8 times 50 = 40

Passo 6

Agora, substituímos o valor da integral na equação do centro de massa:
xcm = 18 times 40 = 5, m

Resposta

O centro de massa da barra está localizado a 5, m da origem.

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