Dois blocos, A e B, de massas mA e mB, estão se movendo em uma linha reta. O bloco A tem uma velocidade inicial de vA, e o bloco B tem uma velocidade vB(com vA>vB). Após a colisão, a velocidade de A é vA^prime e a de B é vB^prime. O coeficiente de restituição da colisão é e. Determine as velocidades finais vA^prime e vB^prime.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois blocos, A e B, com massas e , respectivamente. Eles estão se movendo numa linha reta com velocidades iniciais e , onde . Quando eles colidem, as velocidades mudam para e . A questão quer que a gente calcule essas novas velocidades usando o coeficiente de restituição, que a gente chama de . Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de conservação do momento e a definição do coeficiente de restituição.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a conservação do momento linear. Essa lei diz que o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois da colisão. O momento de um objeto é dado por massa vezes velocidade. Então, a equação fica:
mA vA + mB vB = mA vA' + mB vB'
Essa será a nossa primeira equação.

Passo 3

Agora, vamos usar o coeficiente de restituição e = vB' - vA'vA - vB . Esse coeficiente relaciona as velocidades relativas após e antes da colisão. A fórmula é:
Essa é a nossa segunda equação.

Passo 4

Temos agora um sistema de duas equações com duas incógnitas ( vB' = e(vA - vB) + vA' e ). Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da equação do coeficiente de restituição, podemos isolar :

Passo 5

Substituímos essa expressão de mA vA + mB vB = mA vA' + mB [e(vA - vB) + vA'] na primeira equação (conservação do momento):
mA vA + mB vB = vA' (mA + mB) + mB e(vA - vB)
Vamos expandir e agrupar os termos com :

Passo 6

Isolamos vA' (mA + mB) = mA vA + mB vB - mB e(vA - vB) :
vA' = mA vA + mB vB - mB e(vA - vB)mA + mB

Passo 7

Agora que temos vB' = e(vA - vB) + mA vA + mB vB - mB e(vA - vB)mA + mB , vamos substituir na expressão que encontramos para vB' = e(vA - vB)(mA + mB) + mA vA + mB vB - mB e(vA - vB)mA + mB :
vB' = e mA (vA - vB) + mA vA + mB vBmA + mB
Vamos simplificar:
vB' = vA (mA + e mA) + vB (mB - e mA)mA + mB
vB' = mA (1 + e) vA + mB (1 - e) vBmA + mB

Resposta

As velocidades finais são:
vA' = mA vA + mB vB - mB e (vA - vB)mA + mB
vB' = mA (1 + e) vA + mB (1 - e) vBmA + mB

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