A barragem de concreto por gravidade é mantida por seu próprio peso e contribuição do peso da água. Se a densidade do concreto é rhoc=2,5 Mg / m^3, e a água tem uma densidade de rhow=1,0 Mg / m^3, determine o fator de segurança (F.S) com relação ao tombamento em torno de sua extremidade A. A barragem tem uma largura de 15 m .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a barragem de concreto por gravidade. A gente precisa calcular o fator de segurança (F.S) contra o tombamento da barragem em relação à sua extremidade A. Para isso, vamos usar conceitos de estática, especificamente o equilíbrio de momentos. A gente tem a densidade do concreto ( rhoc=2,5 Mg/m^3), a densidade da água ( rhow=1,0 Mg/m^3) e a largura da barragem, que é de 15 metros. Vamos precisar calcular os momentos que resistem ao tombamento e os que tendem a causar o tombamento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o peso da barragem. O peso ( P) é dado pela massa vezes a gravidade, mas como estamos trabalhando com densidades, podemos considerar:
P = rhoc times Volume
Como a largura da barragem é 15 m e não temos a altura, vamos considerar que a altura da barragem é H. Então, o volume ( V) da barragem é:
V = Largura times Espessura times A
Mas como não temos a espessura, vamos simplificar assumindo que a espessura é igual à altura, típico em barragens de gravidade. Então:
V = 15 , m times H times H = 15H^2
Portanto, o peso da barragem é:
P = 2,5 times 15H^2 = 37,5H^2 , Mg

Passo 3

Agora, vamos calcular o peso da água que está por trás da barragem. A força da água ( Fáguaá) é calculada pela pressão hidrostática, que depende da altura da água. A pressão máxima ocorre na base e é:
Págua = rhow times g times H á
A força total da água é a pressão média multiplicada pela área:
Fágua = 12 rhow g H times Área = 12 times 1,0 times H times H times 15 = 7,5H^2 , Mg áÁ

Passo 4

Vamos calcular agora os momentos. O momento resistente ( Mresistente) vem do peso da barragem atuando na sua base. Considerando que o peso atua no centro de massa, que está a metade da largura:
Mresistente = P times Largura2 = 37,5H^2 times 152 = 281,25H^2 , Mg cdot m
O momento de tombamento ( Mtombamento) vem da força da água atuando na metade da altura:
Mtombamento = Fágua times H2 = 7,5H^2 times H2 = 3,75H^3 , Mg cdot m á

Passo 5

Agora, o fator de segurança (F.S) é a razão entre o momento resistente e o momento de tombamento:
FS = MresistenteMtombamento = 281,25H^23,75H^3 = 281,253,75H = 75H

Resposta

O fator de segurança contra o tombamento da barragem é FS = dfrac75H. Ou seja, para garantir a estabilidade, a altura H da barragem deve ser tal que H < 75 metros.

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