Dados os pontos
e
, determine as componentes do vetor
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço: $ u_{1}=(1,-2,3) $, $ u_{2}=(2,1,-4) $, e $ u_{3}=(-1,-3,1) $. A gente precisa encontrar as componentes do vetor $ v $ que satisfazem a equação $ \left(u_{2}-u_{1}\right)+\left(v-u_{3}\right)=0 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra vetorial, especificamente sobre operações com vetores como a subtração e soma.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a diferença entre os vetores $ u_{2} $ e $ u_{1} $, ou seja, $ u_{2} - u_{1} $. Isso significa subtrair componente por componente:
Passo 3
Agora, vamos expressar a segunda parte da equação, que é $ v - u_{3} $. Vamos deixar $ v = (v_x, v_y, v_z) $, então:
Passo 4
A equação dada é a soma desses dois resultados igual a zero:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Agora, somamos componente por componente e igualamos a zero:
Simplificando cada equação:
Passo 6
Resolvendo cada uma para encontrar as componentes de $ v $:
Resposta
As componentes do vetor $ v $ são $ v = (-2, \ -6, \ 8) $.