Dados os pontos u1=(1,-2,3), u2=(2,1,-4) e u3=(-1,-3,1), determine as componentes do vetor v tal que (u2-u1)+(v-u3)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço: $ u_{1}=(1,-2,3) $, $ u_{2}=(2,1,-4) $, e $ u_{3}=(-1,-3,1) $. A gente precisa encontrar as componentes do vetor $ v $ que satisfazem a equação $ \left(u_{2}-u_{1}\right)+\left(v-u_{3}\right)=0 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra vetorial, especificamente sobre operações com vetores como a subtração e soma.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a diferença entre os vetores $ u_{2} $ e $ u_{1} $, ou seja, $ u_{2} - u_{1} $. Isso significa subtrair componente por componente:
u2

Passo 3

Agora, vamos expressar a segunda parte da equação, que é $ v - u_{3} $. Vamos deixar $ v = (v_x, v_y, v_z) $, então:
v - u3

Passo 4

A equação dada é a soma desses dois resultados igual a zero:
(u2 - u1) + (v - u3) = 0
Substituindo os valores que calculamos:
(1, 3, -7) + (vx + 1, vy + 3, vz - 1) = (0, 0, 0)

Passo 5

Agora, somamos componente por componente e igualamos a zero:
1 + (vx + 1) = 0 3 + (vy + 3) = 0 -7 + (vz - 1) = 0
Simplificando cada equação:
vx + 2 = 0 vy + 6 = 0 vz - 8 = 0

Passo 6

Resolvendo cada uma para encontrar as componentes de $ v $:
v

Resposta

As componentes do vetor $ v $ são $ v = (-2, \ -6, \ 8) $.

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