A barreira mais alta que um projétil consegue passar com folga é de 13,5 metros, quando o projétil é lançado fazendo um ângulo de 15^circ acima da direção horizontal. Qual o módulo da velocidade de lançamento do projétil? (R.: 63,8 m / s.)

Passo 1

Então, a gente tem um projétil que atinge uma altura máxima de 13,5 metros quando lançado em um ângulo de 15^circ acima da horizontal. O objetivo aqui é descobrir qual foi a velocidade inicial com que o projétil foi lançado. Vamos precisar usar conceitos de movimento projetil e cinemática, especialmente as fórmulas que relacionam velocidade, aceleração e altura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a altura máxima em um movimento projetil. A altura máxima ocorre quando a velocidade vertical do projétil é zero. Para chegar até aqui, vamos separar a velocidade inicial em suas componentes horizontal ( vx) e vertical ( vy).
A componente vertical da velocidade inicial pode ser calculada usando a fórmula:
vy = v0 cdot sin(theta)
Onde:
  • v0 é a velocidade inicial que queremos encontrar.
  • theta é o ângulo de lançamento, que é 15^circ.

Passo 3

Sabemos que na altura máxima, a velocidade vertical é zero. Vamos usar a fórmula da velocidade final na direção vertical:
vyfinal = vy - g cdot t
Como vyfinal = 0 na altura máxima:
0 = v0 cdot sin(15^circ) - g cdot t
Aqui, g é a aceleração da gravidade, que vale aproximadamente 9,8 , m/s^2.

Passo 4

Vamos resolver para o tempo ( t) que leva para o projétil chegar na altura máxima:
t = v0 cdot sin(15^circ)g

Passo 5

Agora, vamos relacionar esse tempo com a altura máxima alcançada. Usamos a fórmula da posição vertical:
h = vy cdot t - 12 cdot g cdot t^2
Substituindo vy e t:
13,5 = v0 cdot sin(15^circ) cdot v0 cdot sin(15^circ)g - 12 cdot g cdot ( v0 cdot sin(15^circ)g )^2

Passo 6

Simplificando a equação:
13,5 = v0^2 cdot sin^2(15^circ)g - v0^2 cdot sin^2(15^circ)2g
13,5 = v0^2 cdot sin^2(15^circ)2g

Passo 7

Isolando v0^2 na equação:
v0^2 = 2g cdot 13,5sin^2(15^circ)

Passo 8

Calculando os valores numéricos:
  • Primeiro, calculamos sin(15^circ):
sin(15^circ) approx 0,2588
  • Então:
v0^2 = 2 cdot 9,8 cdot 13,5(0,2588)^2
v0^2 = 264,60,06699
v0^2 approx 3.947,2

Passo 9

Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar v0:
v0 = raiz3.947,2 approx 63,8 , m/s

Resposta

A velocidade de lançamento do projétil é de aproximadamente 63,8 , m/s.

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