Quatro esferas minúsculas sāo presas às extremidades de duas barras
de massa desprezível localizadas no plano xy, conforme ilustra a figura abaixo. Os raios das esferas sāo pequenos comparados com as dimensōes das barras. Se o sistema gira sobre o eixo y com velocidade angular constante de 3,00 rad / s, determine: (b) a energia cinética rotacional do sistema em torno do eixo y.
l dados: m=20 g M=40 g a=40 cm b=35 cm

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema composto por duas barras leves no plano xy, com esferas presas nas extremidades. O sistema está girando em torno do eixo y com uma velocidade angular constante de . Precisamos calcular a energia cinética rotacional desse sistema em torno do eixo y. Para isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e energia cinética rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as massas e as distâncias envolvidas. Temos duas massas:
E duas barras com comprimentos:
Convertendo as massas para quilogramas e as distâncias para metros:

Passo 3

Para calcular a energia cinética rotacional, usamos a fórmula:
Erot = 12 I omega^2
onde é o momento de inércia em torno do eixo y e é a velocidade angular.

Passo 4

Vamos calcular o momento de inércia I = m r^2 do sistema. Como as barras são consideradas leves e o eixo de rotação passa pelo centro de massa, o momento de inércia é dado pela soma dos momentos de inércia de cada esfera em relação ao eixo y.
Para cada esfera, o momento de inércia é:
onde é a massa da esfera e é a distância do eixo de rotação.

Passo 5

Considerando que as barras estão no plano xy e o eixo de rotação é o eixo y, as distâncias Itotal = 2 cdot m cdot a^2 + 2 cdot M cdot b^2 das esferas ao eixo y são igual aos comprimentos das barras e .
Então, temos duas massas a uma distância e duas massas a uma distância . Portanto, o momento de inércia total é:

Passo 6

Substituindo os valores:
Itotal = 2 cdot 0,020 , kg cdot (0,40 , m)^2 + 2 cdot 0,040 , kg cdot (0,35 , m)^2
Itotal = 2 cdot 0,020 cdot 0,16 + 2 cdot 0,040 cdot 0,1225
Itotal = 0,0064 + 0,0098 = 0,0162 , kg cdot m^2

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da energia cinética rotacional:
Erot = 12 cdot 0,0162 , kg cdot m^2 cdot (3,00 , rad/s)^2
Erot = 0,5 cdot 0,0162 cdot 9
Erot = 0,5 cdot 0,1458 = 0,0729 , Jou<=s

Resposta

A energia cinética rotacional do sistema em torno do eixo y é de aproximadamente .

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