Quatro esferas minúsculas sāo presas às extremidades de duas barras
de massa desprezível localizadas no plano xy, conforme ilustra a figura abaixo. Os raios das esferas sāo pequenos comparados com as dimensōes das barras. Se o sistema gira sobre o eixo y com velocidade angular constante de , determine: (b) a energia cinética rotacional do sistema em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema composto por duas barras leves no plano xy, com esferas presas nas extremidades. O sistema está girando em torno do eixo y com uma velocidade angular constante de . Precisamos calcular a energia cinética rotacional desse sistema em torno do eixo y. Para isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e energia cinética rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as massas e as distâncias envolvidas. Temos duas massas:
E duas barras com comprimentos:
Convertendo as massas para quilogramas e as distâncias para metros:

Passo 3

Para calcular a energia cinética rotacional, usamos a fórmula:
onde é o momento de inércia em torno do eixo y e é a velocidade angular.

Passo 4

Vamos calcular o momento de inércia do sistema. Como as barras são consideradas leves e o eixo de rotação passa pelo centro de massa, o momento de inércia é dado pela soma dos momentos de inércia de cada esfera em relação ao eixo y.
Para cada esfera, o momento de inércia é:
onde é a massa da esfera e é a distância do eixo de rotação.

Passo 5

Considerando que as barras estão no plano xy e o eixo de rotação é o eixo y, as distâncias das esferas ao eixo y são igual aos comprimentos das barras e .
Então, temos duas massas a uma distância e duas massas a uma distância . Portanto, o momento de inércia total é:

Passo 6

Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da energia cinética rotacional:

Resposta

A energia cinética rotacional do sistema em torno do eixo y é de aproximadamente .

Exercícios relacionados

Uma bola de tênis recebe um golpe e se separa da raquete na direção horizontal com uma velocidade de . A bola bate na quadra a uma distância horizontal de 17 m da raquete. Qual a altura da bola de tênis ao colidir com a raquete? (R.: 1,84 m)
Uma mangueira de incêndio lança um jato dcima fazendo um ângulo de com a horizontal. A água deixa a mangueira com uma velocidade escalar de . Admitindo-se que a água se comporta como um projétil, a que distância de um edifício a mangueira deveria estar localizada para alcançar o fogo mais alto possível? (R.: 27 m )
Um rifle é disparado horizontalmente em direção ao centro de um alvo. A velocidade da bala na boca do rifle é de . A bala acerta o alvo abaixo do centro. Qual a distância entre a extremidade do rifle e o alvo? (R.: 47,4 m.)
A barreira mais alta que um projétil consegue passar com folga é de 13,5 metros, quando o projétil é lançado fazendo um ângulo de acima da direção horizontal. Qual o módulo da velocidade de lançamento do projétil? (R.: .)