Quatro esferas minúsculas sāo presas às extremidades de duas barras
de massa desprezível localizadas no plano xy, conforme ilustra a figura abaixo. Os raios das esferas sāo pequenos comparados com as dimensōes das barras. Se o sistema gira sobre o eixo y com velocidade angular constante de
, determine: (b) a energia cinética rotacional do sistema em torno do eixo y.
de massa desprezível localizadas no plano xy, conforme ilustra a figura abaixo. Os raios das esferas sāo pequenos comparados com as dimensōes das barras. Se o sistema gira sobre o eixo y com velocidade angular constante de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema composto por duas barras leves no plano xy, com esferas presas nas extremidades. O sistema está girando em torno do eixo y com uma velocidade angular constante de
. Precisamos calcular a energia cinética rotacional desse sistema em torno do eixo y. Para isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e energia cinética rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as massas e as distâncias envolvidas. Temos duas massas:
E duas barras com comprimentos:
Convertendo as massas para quilogramas e as distâncias para metros:
Passo 3
Para calcular a energia cinética rotacional, usamos a fórmula:
onde
é o momento de inércia em torno do eixo y e
é a velocidade angular.
Passo 4
Vamos calcular o momento de inércia
do sistema. Como as barras são consideradas leves e o eixo de rotação passa pelo centro de massa, o momento de inércia é dado pela soma dos momentos de inércia de cada esfera em relação ao eixo y.
Para cada esfera, o momento de inércia é:
onde
é a massa da esfera e
é a distância do eixo de rotação.
Passo 5
Considerando que as barras estão no plano xy e o eixo de rotação é o eixo y, as distâncias
das esferas ao eixo y são igual aos comprimentos das barras
e
.
Então, temos duas massas
a uma distância
e duas massas
a uma distância
. Portanto, o momento de inércia total é:
Passo 6
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula da energia cinética rotacional:
Resposta
A energia cinética rotacional do sistema em torno do eixo y é de aproximadamente
.
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