é um estimador não tendencioso para . Se e forem independentes, encontre o valor de que minimiza o erro-padrão de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um estimador que é uma combinação linear de dois outros estimadores e . Queremos encontrar o valor de que faz com que tenha o menor erro-padrão possível. Para isso, vamos usar conceitos de estimação não tendenciosa e variância de estimadores.

Passo 2

Primeiro, como é uma combinação linear de e , podemos escrever:
Como o estimador é não tendencioso, a média de é igual a . Isso nos garante que a combinação linear está correta.

Passo 3

Para minimizar o erro-padrão de , na verdade, queremos minimizar a variância de . A variância de uma combinação linear de variáveis independentes é dada por:
Como e são independentes, não temos termo de covariância.

Passo 4

Vamos chamar e . Assim, a variância fica:
Queremos minimizar essa expressão em relação a .

Passo 5

Para encontrar o valor de que minimiza a variância, derivamos a expressão em relação a e igualamos a zero:
Simplificando:

Passo 6

Dividindo ambos os lados por :

Resposta

O valor de que minimiza o erro-padrão de é:

Exercícios relacionados

(a) Teste versus , usando .
(b) Qual é o valor para esse teste?
© Qual será o erro , se a média verdadeira for ?
(d) Que valor de seria requerido se quiséssemos , quando ? Suponha .
(a) Teste as hipóteses e versus , usando 0,01 .
(b) Qual é o valor para o teste do item (a)?
© Calcule a potência do teste se o diâmetro médio verdadeiro for de 1,495 polegada.
(d) Que tamanho da amostra seria requerido para detectar um diâmetro médio verdadeiro tão baixo quanto 1,495 polegada, se quiséssemos que a potência do teste fosse, no mínimo, 0,9 ?
(e) Explique como a questão no item (a) poderia ser respondida, construindo um intervalo bilateral de confiança para o diâmetro médio.
Um teste é positivo em 99% dos casos em que a doença está presente e em 5% dos casos em que a doença não está presente. Se da população tem a doença, qual é a probabilidade de que uma pessoa testada aleatoriamente que obtém um resultado positivo realmente tenha a doença?