barX=a barX1+(1-a) barX2, 0
é um estimador não tendencioso para mu. Se barX1 e barX2 forem independentes, encontre o valor de a que minimiza o erro-padrão de barX.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um estimador que é uma combinação linear de dois outros estimadores e . Queremos encontrar o valor de que faz com que tenha o menor erro-padrão possível. Para isso, vamos usar conceitos de estimação não tendenciosa e variância de estimadores.

Passo 2

Primeiro, como barX = a barX1 + (1 - a) barX2 é uma combinação linear de e , podemos escrever:
Como o estimador é não tendencioso, a média de é igual a . Isso nos garante que a combinação linear está correta.

Passo 3

Para minimizar o erro-padrão de Var(barX) = a^2 Var(barX1) + (1 - a)^2 Var(barX2) , na verdade, queremos minimizar a variância de . A variância de uma combinação linear de variáveis independentes é dada por:
Como e são independentes, não temos termo de covariância.

Passo 4

Vamos chamar Var(barX) = a^2 sigma1^2 + (1 - a)^2 sigma2^2 e . Assim, a variância fica:
Queremos minimizar essa expressão em relação a .

Passo 5

Para encontrar o valor de dda Var(barX) = 2a sigma1^2 - 2(1 - a) sigma2^2 = 0 que minimiza a variância, derivamos a expressão em relação a 2a sigma1^2 - 2sigma2^2 + 2a sigma2^2 = 0 e igualamos a zero:
2a (sigma1^2 + sigma2^2) = 2sigma2^2
Simplificando:

Passo 6

Dividindo ambos os lados por a = sigma2^2sigma1^2 + sigma2^2 :

Resposta

O valor de a = sigma2^2sigma1^2 + sigma2^2 que minimiza o erro-padrão de é:

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