é um estimador não tendencioso para
. Se
e
forem independentes, encontre o valor de
que minimiza o erro-padrão de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um estimador
que é uma combinação linear de dois outros estimadores
e
. Queremos encontrar o valor de
que faz com que
tenha o menor erro-padrão possível. Para isso, vamos usar conceitos de estimação não tendenciosa e variância de estimadores.
Passo 2
Primeiro, como
é uma combinação linear de
e
, podemos escrever:
Como o estimador é não tendencioso, a média de
é igual a
. Isso nos garante que a combinação linear está correta.
Passo 3
Para minimizar o erro-padrão de
, na verdade, queremos minimizar a variância de
. A variância de uma combinação linear de variáveis independentes é dada por:
Como
e
são independentes, não temos termo de covariância.
Passo 4
Vamos chamar
e
. Assim, a variância fica:
Queremos minimizar essa expressão em relação a
.
Passo 5
Para encontrar o valor de
que minimiza a variância, derivamos a expressão em relação a
e igualamos a zero:
Simplificando:
Passo 6
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
O valor de
que minimiza o erro-padrão de
é:
Exercícios relacionados
(a) Teste
versus
, usando
.
(b) Qual é o valor para esse teste?
© Qual será o erro , se a média verdadeira for
?
(d) Que valor de seria requerido se quiséssemos
, quando
? Suponha
.
(b) Qual é o valor
© Qual será o erro
(d) Que valor de
(a) Teste as hipóteses
e versus
, usando
0,01 .
(b) Qual é o valor para o teste do item (a)?
© Calcule a potência do teste se o diâmetro médio verdadeiro for de 1,495 polegada.
(d) Que tamanho da amostra seria requerido para detectar um diâmetro médio verdadeiro tão baixo quanto 1,495 polegada, se quiséssemos que a potência do teste fosse, no mínimo, 0,9 ?
(e) Explique como a questão no item (a) poderia ser respondida, construindo um intervalo bilateral de confiança para o diâmetro médio.
(b) Qual é o valor
© Calcule a potência do teste se o diâmetro médio verdadeiro for de 1,495 polegada.
(d) Que tamanho da amostra seria requerido para detectar um diâmetro médio verdadeiro tão baixo quanto 1,495 polegada, se quiséssemos que a potência do teste fosse, no mínimo, 0,9 ?
(e) Explique como a questão no item (a) poderia ser respondida, construindo um intervalo bilateral de confiança para o diâmetro médio.
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