é um estimador não tendencioso para
. Se
e
forem independentes, encontre o valor de
que minimiza o erro-padrão de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um estimador
que é uma combinação linear de dois outros estimadores
e
. Queremos encontrar o valor de
que faz com que
tenha o menor erro-padrão possível. Para isso, vamos usar conceitos de estimação não tendenciosa e variância de estimadores.
Passo 2
Primeiro, como
é uma combinação linear de
e
, podemos escrever:
Como o estimador é não tendencioso, a média de
é igual a
. Isso nos garante que a combinação linear está correta.
Passo 3
Para minimizar o erro-padrão de
, na verdade, queremos minimizar a variância de
. A variância de uma combinação linear de variáveis independentes é dada por:
Como
e
são independentes, não temos termo de covariância.
Passo 4
Vamos chamar
e
. Assim, a variância fica:
Queremos minimizar essa expressão em relação a
.
Passo 5
Para encontrar o valor de
que minimiza a variância, derivamos a expressão em relação a
e igualamos a zero:
Simplificando:
Passo 6
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
O valor de
que minimiza o erro-padrão de
é: