(a) Teste as hipóteses e versus , usando 0,01 .
(b) Qual é o valor para o teste do item (a)?
© Calcule a potência do teste se o diâmetro médio verdadeiro for de 1,495 polegada.
(d) Que tamanho da amostra seria requerido para detectar um diâmetro médio verdadeiro tão baixo quanto 1,495 polegada, se quiséssemos que a potência do teste fosse, no mínimo, 0,9 ?
(e) Explique como a questão no item (a) poderia ser respondida, construindo um intervalo bilateral de confiança para o diâmetro médio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! No item (a), a gente precisa testar as hipóteses contra usando um nível de significância . Isso tudo está na área de Teste de Hipóteses para a Média. Para resolver isso, vamos precisar saber a média da amostra, o desvio padrão e o tamanho da amostra. Mas vamos supor que já temos esses valores ou que estamos trabalhando de forma geral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas hipóteses. A hipótese nula afirma que a média da população é igual a 1,5. A hipótese alternativa diz que é diferente de 1,5. Nosso objetivo é ver se há evidências suficientes nos dados para rejeitar em favor de .

Passo 3

Vamos usar o Teste Z (se a amostra for grande ou o desvio padrão da população for conhecido) ou o Teste t (se a amostra for pequena e o desvio padrão da população for desconhecido). A fórmula geral para o estatístico de teste é:
Onde:
  • é a média da amostra
  • é a média hipotética (1,5)
  • é o desvio padrão
  • é o tamanho da amostra

Passo 4

Depois de calcular o valor de , comparamos ele com os valores críticos do Z para o nível de significância de 0,01 em um teste bilateral. Como é bilateral, dividimos por 2 para cada cauda, então cada extremidade tem 0,005.
Consultando a tabela Z, o valor crítico corresponde a aproximadamente .

Passo 5

Agora, se o valor calculado de for menor que -2,576 ou maior que 2,576, a gente rejeita a hipótese nula em favor da hipótese alternativa . Isso significa que há evidências suficientes para afirmar que a média é diferente de 1,5 com 99% de confiança.

Resposta

Portanto, para testar versus com , calculamos o valor de e comparamos com os valores críticos . Se estiver fora desse intervalo, rejeitamos ; caso contrário, não rejeitamos .

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(b) Encontre para o caso em que o alongamento médio verdadeiro seja de 11,25 quilogramas.
© Encontre para o caso em que a média verdadeira seja de 11,5 quilogramas.
(a) Teste versus , usando .
(b) Qual é o valor para esse teste?
© Qual será o erro , se a média verdadeira for ?
(d) Que valor de seria requerido se quiséssemos , quando ? Suponha .
é um estimador não tendencioso para . Se e forem independentes, encontre o valor de que minimiza o erro-padrão de .