(a) Teste versus , usando .
(b) Qual é o valor para esse teste?
© Qual será o erro , se a média verdadeira for ?
(d) Que valor de seria requerido se quiséssemos , quando ? Suponha .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado tem quatro partes relacionadas a um teste de hipóteses sobre a média ( ). Vamos usar conceitos de estatística, especificamente testes de hipóteses para a média. Precisaremos entender o que são hipóteses nula e alternativa, o nível de significância ( ), valor , erro , e como determinar o tamanho da amostra ( ). Vamos resolver cada item passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Testar versus , usando .
Primeiro, estamos testando se a média populacional é 155 ou não, com um nível de significância de 1%. Isso significa que estamos dispostos a aceitar uma chance de 1% de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.
Para realizar esse teste, usamos a estatística de teste z, que é dada por:
Onde:
  • é a média amostral
  • é a média hipotética (155)
  • é o desvio padrão populacional
  • é o tamanho da amostra
Como não temos os valores de , ou , apenas estruturamos o teste dessa forma.

Passo 3

Parte (b): Qual é o valor para esse teste?
O valor representa a probabilidade de observarmos um valor de teste tão extremo quanto o observado, assumindo que a hipótese nula é verdadeira.
Para encontrar o valor , seguimos estes passos:
  1. Calculamos o valor da estatística de teste usando a fórmula mencionada.
  2. Determinamos a área sob a curva normal além desse valor de .
  3. Como o teste é bilateral ( ), multiplicamos essa área por 2.
Então, o valor é:
Isso nos dá a probabilidade total de estarmos na região de rejeição em ambos os lados da distribuição.

Passo 4

Parte ©: Qual será o erro , se a média verdadeira for ?
O erro é a probabilidade de não rejeitarmos a hipótese nula quando a verdadeira média é diferente, ou seja, .
Para calcular , seguimos estes passos:
  1. Determinamos o valor crítico para . Para , .
  2. Calculamos os limites da região de aceitação:
  1. Calculamos a probabilidade de cair dentro desses limites quando :
Isso nos dá a chance de não detectar a diferença real quando a média é 150.

Passo 5

Parte (d): Que valor de seria requerido se quiséssemos , quando ? Suponha .
Queremos encontrar o tamanho da amostra que garante que a probabilidade de erro seja menor que 10%.
Para isso, seguimos estes passos:
  1. Definimos e determinamos o valor crítico correspondente na distribuição normal.
  2. Igualamos as expressões de e resolvemos para .
  3. A fórmula para fica:
Onde:
  • é o valor crítico para
  • é o valor crítico para
  • é a média alternativa (150)
  • é o desvio padrão populacional
Resolvendo essa equação, encontramos o tamanho necessário da amostra para atender à condição desejada.

Resposta

Finalizamos os cálculos e determinamos o tamanho da amostra necessário para garantir que o erro seja menor que 10%, com . O valor exato de dependerá dos valores específicos de , mas a fórmula apresentada permite calcular conforme os dados disponíveis.

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(a) Teste as hipóteses e versus , usando 0,01 .
(b) Qual é o valor para o teste do item (a)?
© Calcule a potência do teste se o diâmetro médio verdadeiro for de 1,495 polegada.
(d) Que tamanho da amostra seria requerido para detectar um diâmetro médio verdadeiro tão baixo quanto 1,495 polegada, se quiséssemos que a potência do teste fosse, no mínimo, 0,9 ?
(e) Explique como a questão no item (a) poderia ser respondida, construindo um intervalo bilateral de confiança para o diâmetro médio.
Um bit (0 ou 1 ) de informação é transmitido por um canal com ruído. Seja a probabilidade de que seja erradamente recebido. Para melhorar a transmissão uma alternativa é utilizar um decodificador de maioria de dois em três, ou seja, enviar de forma independente 3 vezes a mesma informação registrando como resultado aquela que foi recebida pelo menos duas vezes. Para quais valores de o decodificador de maioria de dois em três é melhor que a transmissão pela única vez?
é um estimador não tendencioso para . Se e forem independentes, encontre o valor de que minimiza o erro-padrão de .