(a) Teste
versus
, usando
.
(b) Qual é o valor
para esse teste?
© Qual será o erro
, se a média verdadeira for
?
(d) Que valor de
seria requerido se quiséssemos
, quando
? Suponha
.
(b) Qual é o valor
© Qual será o erro
(d) Que valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado tem quatro partes relacionadas a um teste de hipóteses sobre a média (
). Vamos usar conceitos de estatística, especificamente testes de hipóteses para a média. Precisaremos entender o que são hipóteses nula e alternativa, o nível de significância (
), valor
, erro
, e como determinar o tamanho da amostra (
). Vamos resolver cada item passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Testar
versus
, usando
.
Primeiro, estamos testando se a média populacional é 155 ou não, com um nível de significância de 1%. Isso significa que estamos dispostos a aceitar uma chance de 1% de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.
Para realizar esse teste, usamos a estatística de teste z, que é dada por:
Onde:
-
é a média amostral -
é a média hipotética (155) -
é o desvio padrão populacional -
é o tamanho da amostra
Como não temos os valores de
,
ou
, apenas estruturamos o teste dessa forma.
Passo 3
Parte (b): Qual é o valor
para esse teste?
O valor
representa a probabilidade de observarmos um valor de teste tão extremo quanto o observado, assumindo que a hipótese nula é verdadeira.
Para encontrar o valor
, seguimos estes passos:
- Calculamos o valor da estatística de teste
usando a fórmula mencionada. - Determinamos a área sob a curva normal além desse valor de
. - Como o teste é bilateral (
), multiplicamos essa área por 2.
Então, o valor
é:
Isso nos dá a probabilidade total de estarmos na região de rejeição em ambos os lados da distribuição.
Passo 4
Parte ©: Qual será o erro
, se a média verdadeira for
?
O erro
é a probabilidade de não rejeitarmos a hipótese nula quando a verdadeira média é diferente, ou seja,
.
Para calcular
, seguimos estes passos:
- Determinamos o valor crítico
para . Para , . - Calculamos os limites da região de aceitação:
- Calculamos a probabilidade de
cair dentro desses limites quando :
Isso nos dá a chance de não detectar a diferença real quando a média é 150.
Passo 5
Parte (d): Que valor de
seria requerido se quiséssemos
, quando
? Suponha
.
Queremos encontrar o tamanho da amostra
que garante que a probabilidade de erro
seja menor que 10%.
Para isso, seguimos estes passos:
- Definimos
e determinamos o valor crítico correspondente na distribuição normal. - Igualamos as expressões de
e resolvemos para . - A fórmula para
fica:
Onde:
-
é o valor crítico para -
é o valor crítico para -
é a média alternativa (150) -
é o desvio padrão populacional
Resolvendo essa equação, encontramos o tamanho necessário da amostra para atender à condição desejada.
Resposta
Finalizamos os cálculos e determinamos o tamanho da amostra
necessário para garantir que o erro
seja menor que 10%, com
. O valor exato de
dependerá dos valores específicos de
, mas a fórmula apresentada permite calcular
conforme os dados disponíveis.
Exercícios relacionados
(a) Teste as hipóteses
e versus
, usando
0,01 .
(b) Qual é o valor para o teste do item (a)?
© Calcule a potência do teste se o diâmetro médio verdadeiro for de 1,495 polegada.
(d) Que tamanho da amostra seria requerido para detectar um diâmetro médio verdadeiro tão baixo quanto 1,495 polegada, se quiséssemos que a potência do teste fosse, no mínimo, 0,9 ?
(e) Explique como a questão no item (a) poderia ser respondida, construindo um intervalo bilateral de confiança para o diâmetro médio.
(b) Qual é o valor
© Calcule a potência do teste se o diâmetro médio verdadeiro for de 1,495 polegada.
(d) Que tamanho da amostra seria requerido para detectar um diâmetro médio verdadeiro tão baixo quanto 1,495 polegada, se quiséssemos que a potência do teste fosse, no mínimo, 0,9 ?
(e) Explique como a questão no item (a) poderia ser respondida, construindo um intervalo bilateral de confiança para o diâmetro médio.
Um bit (0 ou 1 ) de informação é transmitido por um canal com ruído. Seja
a probabilidade de que seja erradamente recebido. Para melhorar a transmissão uma alternativa é utilizar um decodificador de maioria de dois em três, ou seja, enviar de forma independente 3 vezes a mesma informação registrando como resultado aquela que foi recebida pelo menos duas vezes. Para quais valores de
o decodificador de maioria de dois em três é melhor que a transmissão pela única vez?
é um estimador não tendencioso para
. Se
e
forem independentes, encontre o valor de
que minimiza o erro-padrão de
.