(a) Teste H0: mu=155 versus H1: mu neq 155, usando alpha=0,01.
(b) Qual é o valor P para esse teste?
© Qual será o erro beta, se a média verdadeira for mu=150 ?
(d) Que valor de n seria requerido se quiséssemos beta<0,1, quando mu=150 ? Suponha alpha=0,01.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado tem quatro partes relacionadas a um teste de hipóteses sobre a média ( mu). Vamos usar conceitos de estatística, especificamente testes de hipóteses para a média. Precisaremos entender o que são hipóteses nula e alternativa, o nível de significância ( alpha), valor P, erro beta, e como determinar o tamanho da amostra ( n). Vamos resolver cada item passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Testar H0: mu=155 versus H1: mu neq 155, usando alpha=0,01.
Primeiro, estamos testando se a média populacional é 155 ou não, com um nível de significância de 1%. Isso significa que estamos dispostos a aceitar uma chance de 1% de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.
Para realizar esse teste, usamos a estatística de teste z, que é dada por:
z = barx - mu0sigmaraizn
Onde:
  • barx é a média amostral
  • mu0 é a média hipotética (155)
  • sigma é o desvio padrão populacional
  • n é o tamanho da amostra
Como não temos os valores de barx, sigma ou n, apenas estruturamos o teste dessa forma.

Passo 3

Parte (b): Qual é o valor P para esse teste?
O valor P representa a probabilidade de observarmos um valor de teste tão extremo quanto o observado, assumindo que a hipótese nula é verdadeira.
Para encontrar o valor P, seguimos estes passos:
  1. Calculamos o valor da estatística de teste z usando a fórmula mencionada.
  2. Determinamos a área sob a curva normal além desse valor de z.
  3. Como o teste é bilateral ( mu neq 155), multiplicamos essa área por 2.
Então, o valor P é:
P = 2 cdot P(Z > |z|)
Isso nos dá a probabilidade total de estarmos na região de rejeição em ambos os lados da distribuição.

Passo 4

Parte ©: Qual será o erro beta, se a média verdadeira for mu=150?
O erro beta é a probabilidade de não rejeitarmos a hipótese nula quando a verdadeira média é diferente, ou seja, mu=150.
Para calcular beta, seguimos estes passos:
  1. Determinamos o valor crítico zalpha/2 para alpha=0,01. Para alpha=0,01, z0,005 approx 2,576.
  2. Calculamos os limites da região de aceitação:
barx = mu0 pm zalpha/2 cdot sigmaraizn
  1. Calculamos a probabilidade de barx cair dentro desses limites quando mu=150:
beta = P(155 - 2,576 cdot sigmaraizn <= barx <= 155 + 2,576 cdot sigmaraizn)
Isso nos dá a chance de não detectar a diferença real quando a média é 150.

Passo 5

Parte (d): Que valor de n seria requerido se quiséssemos beta<0,1, quando mu=150? Suponha alpha=0,01.
Queremos encontrar o tamanho da amostra n que garante que a probabilidade de erro beta seja menor que 10%.
Para isso, seguimos estes passos:
  1. Definimos beta < 0,1 e determinamos o valor crítico correspondente na distribuição normal.
  2. Igualamos as expressões de beta e resolvemos para n.
  3. A fórmula para n fica:
n = ( zalpha/2 + zbeta|mu0 - mua|sigma )^2
Onde:
  • zalpha/2 é o valor crítico para alpha=0,01
  • zbeta é o valor crítico para beta=0,1
  • mua é a média alternativa (150)
  • sigma é o desvio padrão populacional
Resolvendo essa equação, encontramos o tamanho necessário da amostra para atender à condição desejada.

Resposta

Finalizamos os cálculos e determinamos o tamanho da amostra n necessário para garantir que o erro beta seja menor que 10%, com alpha=0,01. O valor exato de n dependerá dos valores específicos de sigma, mas a fórmula apresentada permite calcular n conforme os dados disponíveis.

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