Um teste é positivo em 99% dos casos em que a doença está presente e em 5% dos casos em que a doença não está presente. Se 0,1% da população tem a doença, qual é a probabilidade de que uma pessoa testada aleatoriamente que obtém um resultado positivo realmente tenha a doença?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um teste que detecta uma doença com 99% de acurácia quando a pessoa está realmente doente e com 5% de erro quando a pessoa não está doente. Além disso, apenas 0,1% da população realmente tem a doença. Queremos descobrir qual a chance de uma pessoa que deu positivo no teste realmente ter a doença. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, especificamente o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos:
  • : A pessoa tem a doença.
  • : A pessoa não tem a doença.
  • : O teste deu positivo.
Sabemos que:
  • (probabilidade do teste dar positivo se a pessoa está doente).
  • (probabilidade do teste dar positivo se a pessoa não está doente).
  • (probabilidade de uma pessoa qualquer ter a doença).
  • (probabilidade de uma pessoa não ter a doença).

Passo 3

Queremos encontrar P(D|T) = P(T|D) cdot P(D)P(T) , que é a probabilidade de a pessoa realmente ter a doença dado que o teste deu positivo. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos diz:
P(T) = P(T|D) cdot P(D) + P(T|neg D) cdot P(neg D)
Aqui, é a probabilidade de qualquer pessoa ter um teste positivo, que pode acontecer de duas formas: a pessoa está doente e o teste acertou, ou a pessoa não está doente e o teste errou. Então:

Passo 4

Vamos calcular P(T) = (0,99 times 0,001) + (0,05 times 0,999) = 0,00099 + 0,04995 = 0,05094 :

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Bayes:
P(D|T) = 0,99 times 0,0010,05094 = 0,000990,05094 approx 0,0194

Resposta

A probabilidade de que uma pessoa que obteve um resultado positivo no teste realmente tenha a doença é de aproximadamente 1,94%.

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