Um teste é positivo em 99% dos casos em que a doença está presente e em 5% dos casos em que a doença não está presente. Se
da população tem a doença, qual é a probabilidade de que uma pessoa testada aleatoriamente que obtém um resultado positivo realmente tenha a doença?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um teste que detecta uma doença com 99% de acurácia quando a pessoa está realmente doente e com 5% de erro quando a pessoa não está doente. Além disso, apenas 0,1% da população realmente tem a doença. Queremos descobrir qual a chance de uma pessoa que deu positivo no teste realmente ter a doença. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, especificamente o Teorema de Bayes.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os eventos:
-
: A pessoa tem a doença. -
: A pessoa não tem a doença. -
: O teste deu positivo.
Sabemos que:
-
(probabilidade do teste dar positivo se a pessoa está doente). -
(probabilidade do teste dar positivo se a pessoa não está doente). -
(probabilidade de uma pessoa qualquer ter a doença). -
(probabilidade de uma pessoa não ter a doença).
Passo 3
Queremos encontrar
, que é a probabilidade de a pessoa realmente ter a doença dado que o teste deu positivo. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos diz:
Aqui,
é a probabilidade de qualquer pessoa ter um teste positivo, que pode acontecer de duas formas: a pessoa está doente e o teste acertou, ou a pessoa não está doente e o teste errou. Então:
Passo 4
Vamos calcular
:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de que uma pessoa que obteve um resultado positivo no teste realmente tenha a doença é de aproximadamente 1,94%.
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. Se
e
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.
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