A base de uma cerca é uma curva no plano xy definida por
, e a altura em cada ponto
é
(x e y em metros). Se o pintor cobra. 5 reais para pintar um
, quanto custará a pintura dessa cerca?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma curva que representa a base de uma cerca no plano xy, definida por
e , onde
varia de 0 a
. A altura da cerca em cada ponto
é dada por
. O objetivo é calcular quanto vai custar para pintar essa cerca, sabendo que o pintor cobra 0,5 reais por metro quadrado.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração para encontrar o comprimento da curva e, consequentemente, a área total a ser pintada. Também vamos usar derivadas para calcular o comprimento da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a área a ser pintada corresponde à área lateral da cerca, que pode ser calculada integrando a altura
ao longo do comprimento da curva
. A fórmula geral para a área lateral
de uma superfície parametrizada é:
Onde
representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva.
Passo 3
Para calcular
, precisamos das derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Agora, calculamos
usando a fórmula:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Pois .
Então,
Passo 6
Agora, vamos expressar a altura
em termos de
:
Como , temos:
Passo 7
Agora, podemos expressar a área
como uma integral em termos de
:
Passo 8
Vamos simplificar a integral. Observe que a função é periódica e simétrica no intervalo de
a
. Podemos calcular de
a
e multiplicar por 2:
Como
, e
são não negativas em
e é não negativa em todo o intervalo. Portanto, podemos remover os valores absolutos:
Passo 9
Vamos distribuir os termos dentro da integral:
Passo 10
Resolvendo as integrais separadamente.
Primeira integral:
Fazendo a substituição ,
:
Avaliando de
a
:
Segunda integral:
Novamente, usando ,
:
Avaliando de
a
:
Passo 11
Voltando à expressão da área:
Mas isso não faz sentido, já que a cerca tem área. Houve um erro na simplificação. Vamos revisar a integral e considerar que varia de 0 a 1 e depois volta a 0, então o comportamento simétrico precisa ser melhor considerado.
Passo 12
Na verdade, como a curva é fechada e simétrica, podemos calcular a integral de
a
utilizando a simetria da função:
Usando a substituição ,
:
Resposta
O custo para pintar a cerca será de R$ 225,00.
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