A base de uma cerca é uma curva no plano xy definida por , e a altura em cada ponto é (x e y em metros). Se o pintor cobra. 5 reais para pintar um , quanto custará a pintura dessa cerca?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma curva que representa a base de uma cerca no plano xy, definida por e , onde varia de 0 a . A altura da cerca em cada ponto é dada por . O objetivo é calcular quanto vai custar para pintar essa cerca, sabendo que o pintor cobra 0,5 reais por metro quadrado.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração para encontrar o comprimento da curva e, consequentemente, a área total a ser pintada. Também vamos usar derivadas para calcular o comprimento da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a área a ser pintada corresponde à área lateral da cerca, que pode ser calculada integrando a altura ao longo do comprimento da curva . A fórmula geral para a área lateral de uma superfície parametrizada é:
Onde representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva.

Passo 3

Para calcular , precisamos das derivadas de e em relação a :

Passo 4

Agora, calculamos usando a fórmula:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Pois .
Então,

Passo 6

Agora, vamos expressar a altura em termos de :
Como , temos:

Passo 7

Agora, podemos expressar a área como uma integral em termos de :

Passo 8

Vamos simplificar a integral. Observe que a função é periódica e simétrica no intervalo de a . Podemos calcular de a e multiplicar por 2:
Como , e são não negativas em e é não negativa em todo o intervalo. Portanto, podemos remover os valores absolutos:

Passo 9

Vamos distribuir os termos dentro da integral:

Passo 10

Resolvendo as integrais separadamente.
Primeira integral:
Fazendo a substituição , :
Avaliando de a :
Segunda integral:
Novamente, usando , :
Avaliando de a :

Passo 11

Voltando à expressão da área:
Mas isso não faz sentido, já que a cerca tem área. Houve um erro na simplificação. Vamos revisar a integral e considerar que varia de 0 a 1 e depois volta a 0, então o comportamento simétrico precisa ser melhor considerado.

Passo 12

Na verdade, como a curva é fechada e simétrica, podemos calcular a integral de a utilizando a simetria da função:
Usando a substituição , :
²

Resposta

O custo para pintar a cerca será de R$ 225,00.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações:
Resolva as seguintes equações:
Determine o trabalho realizado pelo campo sobre uma partícula que se move ao longo da fronteira do conjunto , no sentido anti-horário.
Seja . Descreva a curva tal que: