2-(1,0) Seja F=(2 x, 2 y). Descreva a curva gamma tal que:
integralgamma F d r=0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma força vetor definida como integralgamma F cdot dr = 0 e precisamos descrever uma curva tal que a integral de linha dessa força ao longo da curva seja zero, ou seja:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha e campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como campos vetoriais conservativos e condições para que a integral de linha seja igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o campo vetorial F = nabla phi . Um campo vetorial é chamado de conservativo se existe uma função potencial tal que:
Onde é o gradiente de . Vamos verificar se é conservativo.

Passo 3

Encontrando a função potencial partial phipartial x = 2x e partial phipartial y = 2y :
Sabemos que:
phi(x, y) = x^2 + g(y)
Integrando a primeira equação em relação a partial phipartial y = g'(y) = 2y :
g(y) = y^2 + C
Onde phi(x, y) = x^2 + y^2 + C é uma função de . Agora, derivamos em relação a :
Integrando novamente:
Portanto, a função potencial é:
Isso confirma que é um campo conservativo.

Passo 4

Em campos conservativos, a integral de linha entre dois pontos integralgamma F cdot dr = phi(B) - phi(A) e phi(B) - phi(A) = 0 Rightarrow phi(B) = phi(A) depende apenas dos valores da função potencial nesses pontos, independentemente do caminho seguido. A integral de linha é dada por:
Para que essa integral seja igual a zero, precisamos que:
Ou seja, os pontos inicial e final da curva devem ter o mesmo valor de função potencial.

Passo 5

Vamos supor que a curva phi(A) = phi(B) Rightarrow xA^2 + yA^2 = xB^2 + yB^2 inicia em um ponto e termina em um ponto . Para que , precisamos que:
Isso significa que os pontos e devem estar sobre a mesma circunferência centrada na origem com raio .

Passo 6

Portanto, a curva que satisfaz a condição deve ligar dois pontos e que estão na mesma circunferência em torno da origem. Exemplos de tais curvas incluem:
  • Caminhos fechados (como círculos completos) ao redor da origem.
  • Arcos de circunferência entre dois pontos na mesma circunferência.

Resposta

A curva que satisfaz é qualquer caminho que conecta dois pontos que estão na mesma circunferência centrada na origem, ou seja, pontos e que satisfazem . Exemplos dessa curva incluem círculos completos ou arcos de circunferência entre tais pontos.

Exercícios relacionados