Seja
. Descreva a curva
tal que:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma força vetor definida como
e precisamos descrever uma curva
tal que a integral de linha dessa força ao longo da curva seja zero, ou seja:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha e campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como campos vetoriais conservativos e condições para que a integral de linha seja igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o campo vetorial
. Um campo vetorial é chamado de conservativo se existe uma função potencial
tal que:
Onde
é o gradiente de
. Vamos verificar se
é conservativo.
Passo 3
Encontrando a função potencial
:
Sabemos que:
Integrando a primeira equação em relação a
:
Onde
é uma função de
. Agora, derivamos
em relação a
:
Integrando novamente:
Portanto, a função potencial é:
Isso confirma que
é um campo conservativo.
Passo 4
Em campos conservativos, a integral de linha entre dois pontos
e
depende apenas dos valores da função potencial nesses pontos, independentemente do caminho seguido. A integral de linha é dada por:
Para que essa integral seja igual a zero, precisamos que:
Ou seja, os pontos inicial e final da curva devem ter o mesmo valor de função potencial.
Passo 5
Vamos supor que a curva
inicia em um ponto
e termina em um ponto
. Para que
, precisamos que:
Isso significa que os pontos
e
devem estar sobre a mesma circunferência centrada na origem com raio
.
Passo 6
Portanto, a curva
que satisfaz a condição
deve ligar dois pontos
e
que estão na mesma circunferência em torno da origem. Exemplos de tais curvas incluem:
- Caminhos fechados (como círculos completos) ao redor da origem.
- Arcos de circunferência entre dois pontos na mesma circunferência.
Resposta
A curva
que satisfaz
é qualquer caminho que conecta dois pontos que estão na mesma circunferência centrada na origem, ou seja, pontos
e
que satisfazem
. Exemplos dessa curva incluem círculos completos ou arcos de circunferência entre tais pontos.