Determine o trabalho realizado pelo campo sobre uma partícula que se move ao longo da fronteira do conjunto , no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o trabalho realizado pelo campo vetorial sobre uma partícula que se move ao longo da fronteira do conjunto , no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos vetoriais e integrais de linha, mais especificamente o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar a integral de linha em uma integral dupla mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o trabalho realizado por um campo vetorial. O trabalho é calculado pela integral de linha do campo ao longo do caminho :
Aqui, é um elemento infinitesimal de deslocamento ao longo do caminho.
Passo 3
Como o caminho é uma curva fechada (a fronteira do conjunto ) e o sentido é anti-horário, podemos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por :
Onde . No nosso caso, e .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região de :
A região é definida por , e . Isso corresponde a uma região no terceiro quadrante entre os círculos de raio 1 e 2.
Passo 6
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
E o elemento de área .
Os limites em coordenadas polares para são:
Passo 7
Vamos reescrever a integral em coordenadas polares:
Simplificando:
Passo 8
Vamos integrar primeiro em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 9
Agora, integramos em relação a :
Então,
Resposta
O trabalho realizado pelo campo sobre a partícula ao longo da trajetória especificada é .