Determine o trabalho realizado pelo campo sobre uma partícula que se move ao longo da fronteira do conjunto , no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o trabalho realizado pelo campo vetorial sobre uma partícula que se move ao longo da fronteira do conjunto , no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos vetoriais e integrais de linha, mais especificamente o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar a integral de linha em uma integral dupla mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o trabalho realizado por um campo vetorial. O trabalho é calculado pela integral de linha do campo ao longo do caminho :
Aqui, é um elemento infinitesimal de deslocamento ao longo do caminho.

Passo 3

Como o caminho é uma curva fechada (a fronteira do conjunto ) e o sentido é anti-horário, podemos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por :
Onde . No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então,

Passo 5

Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região de :
A região é definida por , e . Isso corresponde a uma região no terceiro quadrante entre os círculos de raio 1 e 2.

Passo 6

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
E o elemento de área .
Os limites em coordenadas polares para são:

Passo 7

Vamos reescrever a integral em coordenadas polares:
Simplificando:

Passo 8

Vamos integrar primeiro em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 9

Agora, integramos em relação a :
Então,

Resposta

O trabalho realizado pelo campo sobre a partícula ao longo da trajetória especificada é .

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