A base de um certo sólido é a região delimitada por , e . Cada seção transversal perpendicular ao eixo é um semicírculo, com diâmetro de um lado a outro da base. Encontre o volume do sólido.

Passo 1

Então, temos um sólido cuja base é a região delimitada pelas curvas , e . Cada corte perpendicular ao eixo forma um semicírculo, com diâmetro igual à largura da base nesse ponto. Vamos usar cálculo integral para encontrar o volume desse sólido, integrando a área das seções ao longo do eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como encontrar a largura da base em um ponto qualquer . A largura da base é a distância entre e , ou seja, é igual a . Esse será o diâmetro do semicírculo naquela seção.

Passo 3

Sabendo que o diâmetro do semicírculo é , podemos encontrar o raio dividindo o diâmetro por 2:

Passo 4

A área de um semicírculo é dada pela metade da área de um círculo completo. A fórmula da área de um círculo é , então a área do semicírculo fica:

Passo 5

Para encontrar o volume total do sólido, precisamos integrar a área das seç��es perpendicular ao eixo de até :

Passo 6

Calculando a integral:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por gira em torno da reta .
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo .
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Esboce as curvas de nível das seguintes funções:
g) , níveis e
Esboce o gráfico das seguintes funções:
d)