A base de um certo sólido é a região delimitada por
,
e
. Cada seção transversal perpendicular ao eixo
é um semicírculo, com diâmetro de um lado a outro da base. Encontre o volume do sólido.
Passo 1
Então, temos um sólido cuja base é a região delimitada pelas curvas
,
e
. Cada corte perpendicular ao eixo
forma um semicírculo, com diâmetro igual à largura da base nesse ponto. Vamos usar cálculo integral para encontrar o volume desse sólido, integrando a área das seções ao longo do eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como encontrar a largura da base em um ponto qualquer
. A largura da base é a distância entre
e
, ou seja, é igual a
. Esse será o diâmetro do semicírculo naquela seção.
Passo 3
Sabendo que o diâmetro
do semicírculo é
, podemos encontrar o raio
dividindo o diâmetro por 2:
Passo 4
A área
de um semicírculo é dada pela metade da área de um círculo completo. A fórmula da área de um círculo é
, então a área do semicírculo fica:
Passo 5
Para encontrar o volume total do sólido, precisamos integrar a área das seç��es perpendicular ao eixo
de
até
:
Passo 6
Calculando a integral:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por
gira em torno da reta
.
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo
.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Esboce as curvas de nível das seguintes funções:
g) , níveis
e
g)
Esboce o gráfico das seguintes funções:
d)
d)