Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo
.
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Passo 1
Então, galera, a gente tem que encontrar o volume de um sólido que aparece quando a região limitada pelas curvas
,
,
e
gira em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente o método dos discos, que é ótimo para esses casos de rotação em torno de um eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região:
-
é a função cosecante, que é . -
e são linhas horizontais que delimitam a região verticalmente. -
é o eixo , que serve como limite esquerdo da região.
Passo 3
Como estamos girando em torno do eixo
e as funções estão em termos de
, faz sentido integrar em relação a
. O método dos discos diz que o volume
é dado por:
onde
é a função que descreve a distância do eixo de rotação até a curva.
Passo 4
Aqui, a função
é
. Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, precisamos calcular essa integral. Sabemos que:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos então integrar e avaliar nos limites de
a
:
Passo 7
Calculando os valores das cotangentes:
Substituindo:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa.
23. Se cada seção transversal de perpendicular ao eixo
for um quadrado, então
é um paralelepípedo retangular (ou seja, tem um formato de caixa).
24. Se cada seção transversal de for um disco ou uma arruela, então
é um sólido de revolução.
25. Se for dado em centímetros, então
deve ser uma função quadrática de
, pois as unidades de
serão centímetros quadrados.
26. O valor médio de no intervalo
é dado por
.
23. Se cada seção transversal de
24. Se cada seção transversal de
25. Se
26. O valor médio de
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo
.
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[Sugestão: Use a identidade .]
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[Sugestão: Use a identidade
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Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por
gira em torno da reta
.
A base de um certo sólido é a região delimitada por
,
e
. Cada seção transversal perpendicular ao eixo
é um semicírculo, com diâmetro de um lado a outro da base. Encontre o volume do sólido.