Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo .
17.
18.
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20.
21.
22.

Passo 1

Então, galera, a gente tem que encontrar o volume de um sólido que aparece quando a região limitada pelas curvas , , e gira em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente o método dos discos, que é ótimo para esses casos de rotação em torno de um eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região:
  • é a função cosecante, que é .
  • e são linhas horizontais que delimitam a região verticalmente.
  • é o eixo , que serve como limite esquerdo da região.

Passo 3

Como estamos girando em torno do eixo e as funções estão em termos de , faz sentido integrar em relação a . O método dos discos diz que o volume é dado por:
onde é a função que descreve a distância do eixo de rotação até a curva.

Passo 4

Aqui, a função é . Então, substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, precisamos calcular essa integral. Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos então integrar e avaliar nos limites de a :

Passo 7

Calculando os valores das cotangentes:
Substituindo:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa.
23. Se cada seção transversal de perpendicular ao eixo for um quadrado, então é um paralelepípedo retangular (ou seja, tem um formato de caixa).
24. Se cada seção transversal de for um disco ou uma arruela, então é um sólido de revolução.
25. Se for dado em centímetros, então deve ser uma função quadrática de , pois as unidades de serão centímetros quadrados.
26. O valor médio de no intervalo é dado por .
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo .
7.
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10. .
[Sugestão: Use a identidade .]
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Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por gira em torno da reta .
A base de um certo sólido é a região delimitada por , e . Cada seção transversal perpendicular ao eixo é um semicírculo, com diâmetro de um lado a outro da base. Encontre o volume do sólido.