Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo y.
17. x = cossec(y), y = pi / 4, y = 3 pi / 4, x = 0
18. y = x^2, x = y^2
19. x = y^2, x = y + 2
20. x = 1 - y^2, x = 2 + y^2, y = -1, y = 1
21. y = ln x, x = 0, y = 0, y = 1
22. y = raiz((1 - x^2) / x^2) (x > 0), x = 0, y = 0, y = 2

Passo 1

Então, galera, a gente tem que encontrar o volume de um sólido que aparece quando a região limitada pelas curvas , , e gira em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente o método dos discos, que é ótimo para esses casos de rotação em torno de um eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região:
  • é a função cosecante, que é .
  • e são linhas horizontais que delimitam a região verticalmente.
  • é o eixo , que serve como limite esquerdo da região.

Passo 3

Como estamos girando em torno do eixo e as funções estão em termos de , faz sentido integrar em relação a . O método dos discos diz que o volume é dado por:
onde é a função que descreve a distância do eixo de rotação até a curva.

Passo 4

Aqui, a função é . Então, substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, precisamos calcular essa integral. Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos então integrar e avaliar nos limites de a :

Passo 7

Calculando os valores das cotangentes:
Substituindo:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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