Com base na comprovação 2-(e), para a função exponencial em torno de
, utilize-a para provar:
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer: queremos provar que as funções hiperbólicas seno e cosseno (sinh x e cosh x) podem ser escritas como séries infinitas usando a expansão da função exponencial em torno de
. Para isso, vamos precisar conhecer a série da função exponencial e entender como as funções hiperbólicas se relacionam com ela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da expansão em série da função exponencial. A função
pode ser escrita como uma soma infinita de termos da seguinte forma:
Aqui,
representa o fatorial de
, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até
.
Passo 3
Agora, vamos expressar as funções hiperbólicas
e
em termos da função exponencial. Sabemos que:
Essas expressões mostram como as funções hiperbólicas são combinações das exponenciais
e
.
Passo 4
Vamos substituir a expansão da função exponencial nas expressões de
e
.
Primeiro, para
:
E para
:
Passo 5
Substituindo essas expansões nas expressões de
e
:
Para
:
Ao simplificar, percebemos que os termos com potências pares de
se cancelam, e os termos ímpares são dobrados. Assim, a série resultante fica:
Para
:
Aqui, os termos com potências ímpares de
se cancelam, e os termos pares são dobrados. Assim, obtemos:
Resposta
Portanto, provamos que:
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Encontre um vetor que seja ortogonal aos vetores
e
.
Considere a seguinte equação de uma cônica em
coordenadas polares:
coordenadas polares:
Escreva a equação da cônica em coordenadas cartesianas.
Expanda a expressão da energia relativística com base no teorema binomial:
.
Função de Dirac
1
Seja a sequência . Mostre que
.
Seja a sequência
Seja
. Mostre que
é um vetor unitário (chamado de versor de
).