Com base na comprovação 2-(e), para a função exponencial em torno de x=0, utilize-a para provar:
sinh x=sumn=0^infty x^2 n+1(2 n+1)! e cosh x=sumn=0^infty x^2 n(2 n)!

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: queremos provar que as funções hiperbólicas seno e cosseno (sinh x e cosh x) podem ser escritas como séries infinitas usando a expansão da função exponencial em torno de . Para isso, vamos precisar conhecer a série da função exponencial e entender como as funções hiperbólicas se relacionam com ela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da expansão em série da função exponencial. A função e^x = sumn=0^infty x^nn! pode ser escrita como uma soma infinita de termos da seguinte forma:
Aqui, representa o fatorial de , que é o produto de todos os números inteiros de 1 até .

Passo 3

Agora, vamos expressar as funções hiperbólicas sinh x = e^x - e^-x2 e cosh x = e^x + e^-x2 em termos da função exponencial. Sabemos que:
Essas expressões mostram como as funções hiperbólicas são combinações das exponenciais e .

Passo 4

Vamos substituir a expansão da função exponencial nas expressões de e^x = sumn=0^infty x^nn! e e^-x = sumn=0^infty (-x)^nn! .
Primeiro, para :
E para :

Passo 5

Substituindo essas expansões nas expressões de sinh x = sumn=0^infty x^nn! - sumn=0^infty (-x)^nn! 2 e sinh x = sumn=0^infty x^2n+1(2n+1)! :
Para cosh x = sumn=0^infty x^nn! + sumn=0^infty (-x)^nn! 2 :
cosh x = sumn=0^infty x^2n(2n)!
Ao simplificar, percebemos que os termos com potências pares de se cancelam, e os termos ímpares são dobrados. Assim, a série resultante fica:
Para :
Aqui, os termos com potências ímpares de se cancelam, e os termos pares são dobrados. Assim, obtemos:

Resposta

Portanto, provamos que:
sinh x = sumn=0^infty x^2n+1(2n+1)! e cosh x = sumn=0^infty x^2n(2n)!

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