Considere a seguinte equação de uma cônica em
coordenadas polares:
Escreva a equação da cônica em coordenadas cartesianas.
coordenadas polares:
Passo 1
Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de uma cônica em coordenadas polares:
O conteúdo envolvido aqui é a transformação de coordenadas polares para cartesianas. Para resolver isso, vamos precisar usar as relações entre coordenadas polares
e cartesianas
:
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar o denominador:
Passo 3
Agora, vamos distribuir o
dentro dos parênteses:
Passo 4
Sabemos que
, então podemos substituir
por
:
Passo 5
Queremos expressar tudo em termos de
e
. Sabemos que
, então podemos substituir
:
Passo 6
Vamos isolar a raiz quadrada:
Passo 7
Agora, dividimos ambos os lados por 2:
Passo 8
Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 9
Expandindo o lado direito:
Passo 10
Multiplicamos todos os termos por 4 para eliminar os denominadores:
Passo 11
Levamos todos os termos para um lado da equação:
Simplificando:
Passo 12
Multiplicamos todos os termos por -1 para facilitar:
Passo 13
Rearranjamos a equação:
Passo 14
Vamos completar o quadrado para o termo em
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
Então:
Passo 15
Distribuindo o 5:
Simplificando:
Passo 16
Isolamos os termos constantes:
Passo 17
Dividimos toda a equação por 28.8 para deixar igual a 1:
Simplificando as frações:
Resposta
A equação da cônica em coordenadas cartesianas é:
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Considere a seguinte equação de uma cônica em
coordenadas polares:
coordenadas polares:
Identifique a cônica e determine uma reta diretriz da mesma.
Prove se vetores (
são LI então vetores
são DL.
Encontre um vetor que seja ortogonal aos vetores
e
.
Com base na comprovação 2-(e), para a função exponencial em torno de
, utilize-a para provar: