Considere a seguinte equação de uma cônica em
coordenadas polares: r=6
2+3 cos theta
Escreva a equação da cônica em coordenadas cartesianas.

Passo 1

Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de uma cônica em coordenadas polares:
r = 62 + 3 cos theta
O conteúdo envolvido aqui é a transformação de coordenadas polares para cartesianas. Para resolver isso, vamos precisar usar as relações entre coordenadas polares (r, theta) e cartesianas (x, y):
x = r cos theta y = r sin theta r^2 = x^2 + y^2

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados da equação por (2 + 3 cos theta) para eliminar o denominador:
r (2 + 3 cos theta) = 6

Passo 3

Agora, vamos distribuir o r dentro dos parênteses:
2r + 3r cos theta = 6

Passo 4

Sabemos que x = r cos theta, então podemos substituir r cos theta por x:
2r + 3x = 6

Passo 5

Queremos expressar tudo em termos de x e y. Sabemos que r = raizx^2 + y^2, então podemos substituir r:
2raizx^2 + y^2 + 3x = 6

Passo 6

Vamos isolar a raiz quadrada:
2raizx^2 + y^2 = 6 - 3x

Passo 7

Agora, dividimos ambos os lados por 2:
raizx^2 + y^2 = 6 - 3x2 = 3 - 3x2

Passo 8

Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
x^2 + y^2 = (3 - 3x2)^2

Passo 9

Expandindo o lado direito:
x^2 + y^2 = 9 - 9x + 9x^24

Passo 10

Multiplicamos todos os termos por 4 para eliminar os denominadores:
4x^2 + 4y^2 = 36 - 36x + 9x^2

Passo 11

Levamos todos os termos para um lado da equação:
4x^2 + 4y^2 - 36 + 36x - 9x^2 = 0
Simplificando:
-5x^2 + 36x + 4y^2 - 36 = 0

Passo 12

Multiplicamos todos os termos por -1 para facilitar:
5x^2 - 36x - 4y^2 + 36 = 0

Passo 13

Rearranjamos a equação:
5x^2 - 36x - 4y^2 = -36

Passo 14

Vamos completar o quadrado para o termo em x. Primeiro, fatoramos o coeficiente de x^2:
5(x^2 - 365x) - 4y^2 = -36
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
x^2 - 365x + (185)^2 - (185)^2
Então:
5((x - 185)^2 - (185)^2) - 4y^2 = -36

Passo 15

Distribuindo o 5:
5(x - 185)^2 - 5(32425) - 4y^2 = -36
Simplificando:
5(x - 185)^2 - 162025 - 4y^2 = -36
5(x - 185)^2 - 64.8 - 4y^2 = -36

Passo 16

Isolamos os termos constantes:
5(x - 185)^2 - 4y^2 = 64.8 - 36
5(x - 185)^2 - 4y^2 = 28.8

Passo 17

Dividimos toda a equação por 28.8 para deixar igual a 1:
5(x - 185)^228.8 - 4y^228.8 = 1
Simplificando as frações:
(x - 185)^25.76 - y^27.2 = 1

Resposta

A equação da cônica em coordenadas cartesianas é:
(x - 185)^25.76 - y^27.2 = 1

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