Expanda a expressão da energia relativística com base no teorema binomial: .
Função de Dirac
1
Seja a sequência . Mostre que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com uma sequência de funções chamada , definida por:
Nosso objetivo é mostrar que, quando se aproxima de zero, a integral dessa função em todo o eixo real é igual a 1. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e entender como essas funções se comportam quando varia. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura da função . Ela é definida como:
Aqui, é um parâmetro que vai se aproximando de zero. A função tem a forma de uma espécie de “pico” centralizado em , e à medida que muda, a largura e a altura desse pico também mudam.
Passo 3
Agora, queremos calcular a integral dessa função de a :
Vamos simplificar a integral. Podemos fazer uma substituição para facilitar. Seja , então , ou seja, .
Passo 4
Substituindo na integral:
Perceba que o se cancela, o que simplifica bastante a nossa vida!
Passo 5
Agora, a integral que restou é uma integral conhecida:
Esse resultado vem da fórmula da integral da função de Cauchy, que é uma resultado clássico no cálculo.
Passo 6
Substituindo de volta, temos:
Ou seja,
E isso vale para qualquer valor de , inclusive quando se aproxima de zero.